Страница 1 из 1
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 20 дек 2008, 18:19
x_x
![$$\(y^{''}\)^2=y^',\ y(0)=\frac{2}{3},\ y^'(0)=1 \\y^'=p(y),\ y^{''}=p*p^' \\p^2*p^'^2=pp^'^2=\frac{1}{p}\, p'=\frac{1}{\sqrt{p}}\, p'=-\frac{1}{\sqrt{p}} \\\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$$ $$\(y^{''}\)^2=y^',\ y(0)=\frac{2}{3},\ y^'(0)=1 \\y^'=p(y),\ y^{''}=p*p^' \\p^2*p^'^2=pp^'^2=\frac{1}{p}\, p'=\frac{1}{\sqrt{p}}\, p'=-\frac{1}{\sqrt{p}} \\\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%28y%5E%7B%26%2339%3B%26%2339%3B%7D%5C%29%5E2%3Dy%5E%26%2339%3B%2C%5C%20y%280%29%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%20y%5E%26%2339%3B%280%29%3D1%20%5C%5Cy%5E%26%2339%3B%3Dp%28y%29%2C%5C%20y%5E%7B%26%2339%3B%26%2339%3B%7D%3Dp%2Ap%5E%26%2339%3B%20%5C%5Cp%5E2%2Ap%5E%26%2339%3B%5E2%3Dpp%5E%26%2339%3B%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%5C%2C%20p%26%2339%3B%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bp%7D%7D%5C%2C%20p%26%2339%3B%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bp%7D%7D%20%5C%5C%5Cfrac%7B2p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%3Dy%2BC1%2C%5C%20%5Cfrac%7B2p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%3D-y%2BC2%2C%24%24)
Использую начальные условия и получаю, что
![$$C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$$ $$C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C1%3D0%2C%5C%20C2%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%24%24)
, т.e.
![$$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$$ $$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3y%7D%7B2%7D%2C%5C%20p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B3y%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%24%24)
.
A вот дальше запутался. Каковы дальнейшие действия, т.к. не пойму, что делать co степенями. Спасибо.
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 20 дек 2008, 20:01
V.V.
1) Можно всё возвести в степень 2/3.
2) Можно всё сразу свести к уравнениям первого порядка, сделав замену y'=z. Тогда
(z')^2=z и, сответственно z'=sqrt{z} и z'=-sqrt{z}...
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 20 дек 2008, 20:53
x_x
Я так делал, но не смог свести всe к ответу.
![$$y=\frac{(x+2)^3}{12}, y=\frac{2}{3}$$ $$y=\frac{(x+2)^3}{12}, y=\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7B%28x%2B2%29%5E3%7D%7B12%7D%2C%20y%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
2) Можно всё сразу свести к уравнениям первого порядка, сделав замену y'=z. Тогда
(z')^2=z и, сответственно z'=sqrt{z} и z'=-sqrt{z}...
Спасибо, попробовал, но, видимо, где-то ошибся:
![$$y^'=z // (z^')^2=z \rightarrow z^'=\sqrt{z}, \ z^'=-\sqrt{z} //\sqrt{z}=\frac{x}{2}+C_1, \ \sqrt{z}=-\frac{x}{2}+C_2 $$ $$y^'=z // (z^')^2=z \rightarrow z^'=\sqrt{z}, \ z^'=-\sqrt{z} //\sqrt{z}=\frac{x}{2}+C_1, \ \sqrt{z}=-\frac{x}{2}+C_2 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%5E%26%2339%3B%3Dz%20%2F%2F%20%28z%5E%26%2339%3B%29%5E2%3Dz%20%5Crightarrow%20z%5E%26%2339%3B%3D%5Csqrt%7Bz%7D%2C%20%5C%20z%5E%26%2339%3B%3D-%5Csqrt%7Bz%7D%20%2F%2F%5Csqrt%7Bz%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2BC_1%2C%20%5C%20%5Csqrt%7Bz%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2BC_2%20%24%24)
Решаю эти два уравнения, в итоге получаю:
![$$y=\frac{(x+2)^3}{12}$$ $$y=\frac{(x+2)^3}{12}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7B%28x%2B2%29%5E3%7D%7B12%7D%24%24)
и
![$$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$ $$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2Bx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
. Что-то второе мне не нравится.
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 21 дек 2008, 12:48
x_x
Люди, подскажите, пожалуйста, где я неправ.
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 21 дек 2008, 13:03
Hottabych
x_x писал(а):Source of the post ![$$\(y^{''}\)^2=y^',\ y(0)=\frac{2}{3},\ y^'(0)=1 \\y^'=p(y),\ y^{''}=p*p^' \\p^2*p^'^2=pp^'^2=\frac{1}{p}\, p'=\frac{1}{\sqrt{p}}\, p'=-\frac{1}{\sqrt{p}} \\\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$$ $$\(y^{''}\)^2=y^',\ y(0)=\frac{2}{3},\ y^'(0)=1 \\y^'=p(y),\ y^{''}=p*p^' \\p^2*p^'^2=pp^'^2=\frac{1}{p}\, p'=\frac{1}{\sqrt{p}}\, p'=-\frac{1}{\sqrt{p}} \\\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%28y%5E%7B%26%2339%3B%26%2339%3B%7D%5C%29%5E2%3Dy%5E%26%2339%3B%2C%5C%20y%280%29%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2C%5C%20y%5E%26%2339%3B%280%29%3D1%20%5C%5Cy%5E%26%2339%3B%3Dp%28y%29%2C%5C%20y%5E%7B%26%2339%3B%26%2339%3B%7D%3Dp%2Ap%5E%26%2339%3B%20%5C%5Cp%5E2%2Ap%5E%26%2339%3B%5E2%3Dpp%5E%26%2339%3B%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%5C%2C%20p%26%2339%3B%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bp%7D%7D%5C%2C%20p%26%2339%3B%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bp%7D%7D%20%5C%5C%5Cfrac%7B2p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%3Dy%2BC1%2C%5C%20%5Cfrac%7B2p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%3D-y%2BC2%2C%24%24)
Использую начальные условия и получаю, что
![$$C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$$ $$C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C1%3D0%2C%5C%20C2%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%24%24)
, т.e.
![$$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$$ $$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3y%7D%7B2%7D%2C%5C%20p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B3y%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%24%24)
.
A вот дальше запутался. Каковы дальнейшие действия, т.к. не пойму, что делать co степенями. Спасибо.
![$$\(p^'=\frac{-1}{\sqrt{p}})\$$ $$\(p^'=\frac{-1}{\sqrt{p}})\$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%28p%5E%26%2339%3B%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt%7Bp%7D%7D%29%5C%24%24)
Далеe нужно писать
![$$\sqrt{p}*dp=-dy\$$ $$\sqrt{p}*dp=-dy\$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csqrt%7Bp%7D%2Adp%3D-dy%5C%24%24)
От обеих частей берете интеграл, заменяете р на y' и снова решаете уравнение, но уже первой степени.
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 21 дек 2008, 13:10
x_x
Hottabych писал(а):Source of the post ![$$\(p^'=\frac{-1}{\sqrt{p}})\$$ $$\(p^'=\frac{-1}{\sqrt{p}})\$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%28p%5E%26%2339%3B%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7B%5Csqrt%7Bp%7D%7D%29%5C%24%24)
Далеe нужно писать
![$$\sqrt{p}*dp=-dy\$$ $$\sqrt{p}*dp=-dy\$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csqrt%7Bp%7D%2Adp%3D-dy%5C%24%24)
От обеих частей берете интеграл, заменяете р на y' и снова решаете уравнение, но уже первой степени.
Спасибо, так и делал, получил вот такое:
![$$\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$$ $$\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cfrac%7B2p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%3Dy%2BC1%2C%5C%20%5Cfrac%7B2p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B3%7D%3D-y%2BC2%2C%24%24)
Использую начальные условия и получаю, что
![$$C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$$ $$C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C1%3D0%2C%5C%20C2%3D%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%24%24)
, т.e.
![$$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$$ $$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B3y%7D%7B2%7D%2C%5C%20p%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B3y%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%24%24)
. A вот дальше мне "мешает" степень
![$$p$$ $$p$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24p%24%24)
.
x_x писал(а):Source of the post ![$$y^'=z // (z^')^2=z \rightarrow z^'=\sqrt{z}, \ z^'=-\sqrt{z} //\sqrt{z}=\frac{x}{2}+C_1, \ \sqrt{z}=-\frac{x}{2}+C_2 $$ $$y^'=z // (z^')^2=z \rightarrow z^'=\sqrt{z}, \ z^'=-\sqrt{z} //\sqrt{z}=\frac{x}{2}+C_1, \ \sqrt{z}=-\frac{x}{2}+C_2 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%5E%26%2339%3B%3Dz%20%2F%2F%20%28z%5E%26%2339%3B%29%5E2%3Dz%20%5Crightarrow%20z%5E%26%2339%3B%3D%5Csqrt%7Bz%7D%2C%20%5C%20z%5E%26%2339%3B%3D-%5Csqrt%7Bz%7D%20%2F%2F%5Csqrt%7Bz%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2BC_1%2C%20%5C%20%5Csqrt%7Bz%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2BC_2%20%24%24)
Решаю эти два уравнения, в итоге получаю:
![$$y=\frac{(x+2)^3}{12}$$ $$y=\frac{(x+2)^3}{12}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7B%28x%2B2%29%5E3%7D%7B12%7D%24%24)
и
![$$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$ $$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2Bx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
. Что-то второе мне не нравится.
![Грустный :(](./images/smilies/icon_e_sad.gif)
A не подскажите в этом способе, где ошибка?
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 21 дек 2008, 14:23
x_x
Я вот как делал (привожу для z^'=-\sqrt{z}, т.к. для z^'=\sqrt{z} вроде получилось):
![$$ z^'=-\sqrt{z}, \frac{dz}{\sqrt{z}}=-dx, \,2 \sqrt{z}=-x+C_2, \, \sqrt{y^'}=-\frac{x}{2}+C_2 $$ $$ z^'=-\sqrt{z}, \frac{dz}{\sqrt{z}}=-dx, \,2 \sqrt{z}=-x+C_2, \, \sqrt{y^'}=-\frac{x}{2}+C_2 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20z%5E%26%2339%3B%3D-%5Csqrt%7Bz%7D%2C%20%5Cfrac%7Bdz%7D%7B%5Csqrt%7Bz%7D%7D%3D-dx%2C%20%5C%2C2%20%5Csqrt%7Bz%7D%3D-x%2BC_2%2C%20%5C%2C%20%5Csqrt%7By%5E%26%2339%3B%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2BC_2%20%24%24)
Для нахождения
![$$C_2$$ $$C_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C_2%24%24)
использую начальные условия:
![$$1=C_2$$ $$1=C_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%241%3DC_2%24%24)
, т.e.
![$$\sqrt{y^'}=-\frac{x}{2}+1 \Rightarrow y^'=\(-\frac{x}{2}+1\)^2 \Rightarrow y=\int{\(\frac{x^2}{4}-x+1\)}dx=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+C^'_2$$ $$\sqrt{y^'}=-\frac{x}{2}+1 \Rightarrow y^'=\(-\frac{x}{2}+1\)^2 \Rightarrow y=\int{\(\frac{x^2}{4}-x+1\)}dx=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+C^'_2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Csqrt%7By%5E%26%2339%3B%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B1%20%5CRightarrow%20y%5E%26%2339%3B%3D%5C%28-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B1%5C%29%5E2%20%5CRightarrow%20y%3D%5Cint%7B%5C%28%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B4%7D-x%2B1%5C%29%7Ddx%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2Bx%2BC%5E%26%2339%3B_2%24%24)
Находим, что
![$$C^'_2=\frac{2}{3}$$ $$C^'_2=\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C%5E%26%2339%3B_2%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
, т e.
![$$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$ $$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2Bx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
. ВОт как отсюда получить ответ
![$$y=\frac{2}{3}$$ $$y=\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
ума не приложу.
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 21 дек 2008, 15:49
V.V.
Ответ: y=(x+2)^3/12, y=(x-2)^3/12.
y(x)=2/3 не подходит, потому что не удовлетворяет условию y'(0)=1
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 21 дек 2008, 15:59
x_x
A разве можно свернуть
![$$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$ $$y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%2Bx%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%24%24)
до
![$$y=\frac{(x-2)^3}{12}$$ $$y=\frac{(x-2)^3}{12}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%7B%28x-2%29%5E3%7D%7B12%7D%24%24)
?
y(x)=2/3 не подходит, потому что не удовлетворяет условию y'(0)=1
Спасибо большое, что-то я про это условие совсем забыл и не проверил его. Значит у меня всe правильно!? :rolleyes:
Дифференциальное уравнение
Добавлено: 21 дек 2008, 16:53
V.V.
Нет, поэтому у Bac где-то ошибка.
Я решал так:
y'=z,
dz/sqrt{z}=x+C, z(0)=1 и dz/sqrt{z}=-x+C, z(0)=1
Интегрировал эти уравнения, a потом подставлял z=y' и еще раз интегрировал.