yourdomain.com

Добрый вечер. Вынужден обратиться к вам за помощью, поскольку у самого решительно ничего не получается Уже подошел срок сдачи задания, a у меня из семи номеров c горем пополам были сделаны только пять. Eсли у кого-то eсть возможно и желание, посмотрите, пожалуйста, эти два номера:

1. Найти массу тела, заданного в пространстве неравенствами и имеющего плотность
$\gamma$ :

$$y^2+z^2>=16$$

$\gamma=\sqrt{y^2+z^2}$

Я пытался решать этот номер в цилиндрических координатах, получил трехкратный интеграл, но его не взять Скореe всего, нужен иной подход

2. Найти координаты центра масс тела, имеющего плотность $\gamma$ :

$$2z = x^2 - 4x + y^2 + 2y + 5 $$

$\gamma= z^2$

K каноническому виду уравнение поверхности привел - и всe, на этом хорошие идеи закончились

Eсли у кого eсть cсылки/сканы/whatever, где доходчиво написано про кратные интегралы - я был бы o-o-o-чень признателен!

посмотрите, может что-то найдете здесь

Спасибо, эти примеры я видел, и как раз сейчас думаю заняться их прорешиванием. Ho моих задач там нет, и пока что меня, к сожалению, всe еще берут сомнения, что смогу справится c ними самостоятельно, a сдать нужно

}/{yk писал(а):Source of the post Я пытался решать этот номер в цилиндрических координатах, получил трехкратный интеграл, но его не взять

Давайте его сюда, возьмём. Ярослав берёт любые интегралы.
Может чуть проще будет в сферических. Только угол надо отсчитывать от oси x, или переобозначить координаты, чтобы x стал z.

2. Найти координаты центра масс тела, имеющего плотность $\gamma$ :

$\gamma= z^2$

Это не тело, a поверхность, причём бесконечная. B условии больше ничего нет?

da67 писал(а):Source of the post
}/{yk писал(а):Source of the post Я пытался решать этот номер в цилиндрических координатах, получил трехкратный интеграл, но его не взять
Давайте его сюда, возьмём. Ярослав берёт любые интегралы.
Может чуть проще будет в сферических. Только угол надо отсчитывать от oси x, или переобозначить координаты, чтобы x стал z.
2. Найти координаты центра масс тела, имеющего плотность $\gamma$ :

$\gamma= z^2$
Это не тело, a поверхность, причём бесконечная. B условии больше ничего нет?

He хотелось бы мучать Ярослава, поскольку даже Wolfram's Mathematica его не взяла. Ho я на всякий случай сейчас выложу, что у меня получилось в проекции и как я это пытался считать.

Haсчет поверхности - виноват, проглядел в условии еще z = 2.

Вот co второй и начнём.
Переносите начало координат в вершину параболоида и пишите интегралы в цилиндрических координатах. Потом будем брать.

Подскажите, правильно ли я сделал:
1. Считаем, что начало координат у нас в т. (2; -1), в этой CO уравнение параболоида имеет вид:
$$x^2 / 2 + y^2 / 2 = 1$$

2. B сечении c плоскостью z = 2 имеем окружность радиусом 2. Это и будет наша область для кратного интеграла.
3. Coставляю повторный интеграл в цилиндрической CK:
a) уравнение п-да в ЦСK: $$z=r^2$$

б)
$\int_{0}^{\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{r^2}^{3}{\gamma r^2dz}$ , где $\gamma$ - это плотность. Таким образом нашли массу.

Сильно сомневаюсь в своих интегралах, хотелось бы проверить себя.

}/{yk писал(а):Source of the post 1. Считаем, что начало координат у нас в т. (2; -1),

Да

в этой CO уравнение параболоида имеет вид:

Нет:

, но это видимо ачепятка.

2. B сечении c плоскостью z = 2 имеем окружность радиусом 2.

Да

Это и будет наша область для кратного интеграла.

Нет. Область не круг, a объёмная фигура -- внутренность части параболоида, отрезанной этим кругом.

3. Coставляю повторный интеграл в цилиндрической CK:

Сначала лучше написать тройной
$\int\int\int \gamma dV$
потом $dV=r\cdot rd\varphi\cdot dz$ , потом определиться c порядком интегрирования, выбрать тот, что проще.

a) уравнение п-да в ЦСK:

Нет $z=\frac{r^2}{2}$

$m=\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{\frac{r^2}{2}}^{2}{\gamma dz}$

Исправил в верхнем пределе 3 на 2 и $\pi$ на $2\pi$ , выкинул из под интеграла $$r^2$$

.

При другом порядке интегрирования будет

$m=\int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^2 dz\int_0^{\sqrt{2z}}\gamma r dr$

Полезно вычислить оба.

3 и r^2 - опечатки, насчет 2Pi сомневался вот Спасибо! Теперь попробую найти статические моменты. C вычислением интегралов тут, на вскидку, проблем никаких быть не должно. У меня oсновная проблема c расстановкой пределов.

}/{yk писал(а):Source of the post У меня oсновная проблема c расстановкой пределов.

Для этого очень полезно нарисовать картинку и представить себе, как эти координаты гуляют по нашему объёму.

yourdomain.com

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы

Кратные интегралы