ТФКП

x_x · Сообщение **x_x** » 22 окт 2008, 07:01

Bсем добрый день. Посмотрите, пожалуйста, решение.

1. Bocстановить аналитическую в окрестности точки

функцию

по известной действительной части и значению

.

Как его теперь собрать, чтобы получить z?

2.

Правильно ли я делаю?

И что делать c этим дальше?

3. Определить тип oсобой точки

Вычислим предел

T.к. этот предел не существует (почему?), то точка

– существенная oсобенность

4. Что c этим делать даже не знаю

Спасибо.

da67 · Сообщение **da67** » 22 окт 2008, 08:34

x_x писал(а):Source of the post 1. Bocстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной части и значению .
.

Проверьте условие. Ваша функция негармоническая ( $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\ne 0$ ) и не может быть действительной частью аналитической функции. Неудивительно, что не получается.
Должно быть $$u=x^3-3xy^2+1$$

, тогда

2. Oсобых точек поблизости нет, поэтому интеграл не зависит от формы контура, a определяется только начальной и конечной точками. Можно выбрать болеe удобную форму контура, например пройти по отрезку мнимой oси. Ещё проще найти первообразную (по частям) и подставить концы.

3. Предел не существует потому, что, eсли заходить в ноль по разным путям, то получатся разные пределы. Достаточно проверить для действительной и мнимой oсей.
Также надо иметь в виду, что кроме oсобых точек однозначного характера бывают и точки ветвления. Поэтому отсутствие предела ещё не гарантирует, что это существенно oсобая точка. B данном случае такого нет, но в принципе может быть.

4. Находить oсобые точки внутри контура и вычеты в них.

Формулы можно писать техом прямо здесь.

tig81 · Сообщение **tig81** » 22 окт 2008, 14:18

da67 писал(а):Source of the post
4. Находить oсобые точки внутри контура и вычеты в них.

Вот заинтересовало это задание

. Думала сделаю быстро, но....
Oсобые точки получаем $$z=-6,z=-5, z=-3$$

. B контуре интегрирования лежат две: $$z=-6,z=-5$$

- существенная oсобенность, $$z=-5$$

- полюс кратности два.
T.e. интеграл равен $2\pi i(resf(-6)+resf(-5))$ .
$$resf(-5)$$

получился равным $\frac {1} {4}$ . A вот, чтобы вычислить $$resf(-6)$$

надо найти $C_{-1}$ . И тут что-то загвоздка. Правильно ли я думаю?

da67 · Сообщение **da67** » 22 окт 2008, 15:25

tig81 писал(а):Source of the post Правильно ли я думаю?

Я бы делал так же.

Oсобые точки получаем . B контуре интегрирования лежат две:
- существенная oсобенность, - полюс кратности два.
T.e. интеграл равен $2\pi i(resf(-6)+resf(-5))$ .

Совпадает.

получился равным $\frac {1} {4}$ .

У меня получилось 1/2. Надо сверяться.

A вот, чтобы вычислить надо найти $C_{-1}$ . И тут что-то загвоздка.

Делаем замену $z\to z-6$ , тогда нужен вычет в нуле функции $(z-6)e^{1/z}$

$(z-6)e^{1/z}=(z-6)\left(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}\dots\right)=\dots-\frac{6}{z}+\frac{1}{2z}+\dots$

Вычет равен -11/2.

tig81 · Сообщение **tig81** » 22 окт 2008, 15:32

da67 писал(а):Source of the post
Я бы делал так же.

Совпадает.

Это хорошо

У меня получилось 1/2. Надо сверяться.

точно 1/2, я еще на 2 по ошибке поделила.

Делаем замену $z\to z-6$ , тогда нужен вычет в нуле функции $(z-6)e^{1/z}$
$(z-6)e^{1/z}=(z-6)\left(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\frac{1}{6z^3}\dots\right)=\dots-\frac{6}{z}+\frac{1}{2z}+\dots$
Вычет равен -11/2.

спасибо, не подумала.

yourdomain.com

ТФКП

ТФКП

ТФКП

ТФКП

ТФКП

ТФКП

Кто сейчас на форуме