yourdomain.com

Функция f(x,y) дифференцируема в точке (x0,у0).Доказать,что в любой ε-окрестности точки (х0,у0) найдется точка (х,у) такая,что ∆f(x0,y0)=f(x,y)-f(x0,y0) и df(x0,y0) имеют разные знаки.

Где Вы это взяли? Думаю, это неверно.
Возьмите, например, любую линейную функцию f(х,у)=ах+by. Для таких приращение и дифференциал просто совпадают.

Задание поставлено неверно: дифференциал и значения функции - объекты разных типов.

в условии ошибок нет.100%

df(x,y) как и f'(x,y) не имеет знака.

Ну почему же. При фиксированной точке и фиксированных приращениях все это числа, a потому имеют знаки. Другое дело - см. что писал ранее.

нету знака.

$f(x,y)=ax+by \\ f'(x,y)=(a,b) \\ df(x,y)(dx,dy)=adx+bdy$

приращение - это число, оно несравнимо как c дифференциалом так и c производной.

Draeden писал(а):Source of the post

нету знака.

$f(x,y)=ax+by \\ f'(x,y)=(a,b) \\ df(x,y)(dx,dy)=adx+bdy$

приращение - это число, оно несравнимо как c дифференциалом так и c производной.

При фиксированной точке и фиксированных приращениях дифференциал тоже число (иначе не было бы смысла в известном соотношении $\Delta f(x_0y_0)\approx df(x_0,y_0)$ )

$df(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)\Delta x+f'_y(x_0,y_0)\Delta y$