Объём n-мерного шара
Добавлено: 17 янв 2008, 21:18
Я сомневаюсь, что эта тема вызовет хоть какой-то интерес, но всё же её открою.
Кто сможет вычислить объём n-мерного шара и его площадь ?
Я знаю сухой метод такого вычисления, через гамма и бета функции, но может кто-то знает, как это вычислить по простому.
Буду благодарен (т.e. рейтинг подниму за любые дельные мысли.
Пусть объём n-мерного шара выражается так:
![$$ V_n(r )=c_nr^n $$ $$ V_n(r )=c_nr^n $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20V_n%28r%20%29%3Dc_nr%5En%20%24%24)
где
- некоторая константа,
- радиус шара.
Вычислим этот объём другим образом:
![$$ V_n(r ) = \int _{-r} ^{r} {V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) dx} = 2 \int _0 ^r {c_{n-1}(r^2-x^2)^{\frac{n-1}{2}}dx} = 2c_{n-1} \int_0^r{(1-\frac{x^2}{r^2})^{\frac{n-1}{2}r^{n-1}}dx} $$ $$ V_n(r ) = \int _{-r} ^{r} {V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) dx} = 2 \int _0 ^r {c_{n-1}(r^2-x^2)^{\frac{n-1}{2}}dx} = 2c_{n-1} \int_0^r{(1-\frac{x^2}{r^2})^{\frac{n-1}{2}r^{n-1}}dx} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20V_n%28r%20%29%20%3D%20%5Cint%20_%7B-r%7D%20%5E%7Br%7D%20%7BV_%7Bn-1%7D%28%5Csqrt%7Br%5E2-x%5E2%7D%29%20dx%7D%20%3D%202%20%5Cint%20_0%20%5Er%20%7Bc_%7Bn-1%7D%28r%5E2-x%5E2%29%5E%7B%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7D%7Ddx%7D%20%3D%202c_%7Bn-1%7D%20%5Cint_0%5Er%7B%281-%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Br%5E2%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B2%7Dr%5E%7Bn-1%7D%7Ddx%7D%20%24%24)
далее сделаем замену![$$ x=r\sqrt{t} $$ $$ x=r\sqrt{t} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20x%3Dr%5Csqrt%7Bt%7D%20%24%24)
![$$ V_n(r ) = c_{n-1}r^n \int_0^1{(1-t)^{\frac{n+1}{2}-1}t^{\frac{1}{2}-1}dt} = c_{n-1}r^n B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} c_{n-1} r^n \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$ $$ V_n(r ) = c_{n-1}r^n \int_0^1{(1-t)^{\frac{n+1}{2}-1}t^{\frac{1}{2}-1}dt} = c_{n-1}r^n B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} c_{n-1} r^n \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20V_n%28r%20%29%20%3D%20c_%7Bn-1%7Dr%5En%20%5Cint_0%5E1%7B%281-t%29%5E%7B%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D-1%7Dt%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-1%7Ddt%7D%20%3D%20c_%7Bn-1%7Dr%5En%20B%28%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%29%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20c_%7Bn-1%7D%20r%5En%20%5Cfrac%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D%29%7D%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7B2%7D%29%7D%20%24%24)
поскольку
то
![$$ \frac{c_n}{c_{n-1}}=\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$ $$ \frac{c_n}{c_{n-1}}=\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7Bc_n%7D%7Bc_%7Bn-1%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7B2%7D%29%7D%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7B2%7D%29%7D%20%24%24)
далее вычислим
зная, что ![$$ c_2 = \pi $$ $$ c_2 = \pi $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20c_2%20%3D%20%5Cpi%20%24%24)
![$$ \frac{c_n}{c_2} = \frac{c_3}{c_2} \frac{c_4}{c_3} \cdots \frac{c_n}{c_{n-1}} = {\pi}^{\frac{n}{2}-1}\frac{1}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$ $$ \frac{c_n}{c_2} = \frac{c_3}{c_2} \frac{c_4}{c_3} \cdots \frac{c_n}{c_{n-1}} = {\pi}^{\frac{n}{2}-1}\frac{1}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7Bc_n%7D%7Bc_2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bc_3%7D%7Bc_2%7D%20%5Cfrac%7Bc_4%7D%7Bc_3%7D%20%5Ccdots%20%20%5Cfrac%7Bc_n%7D%7Bc_%7Bn-1%7D%7D%20%3D%20%7B%5Cpi%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D-1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7B2%7D%29%7D%20%24%24)
отсюда прлучаем окончательный результат
![$$ c_n = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} \\ V_n(r ) = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}r^n}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$ $$ c_n = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} \\ V_n(r ) = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}r^n}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20c_n%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cpi%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%7D%7D%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7B2%7D%29%7D%20%5C%5C%20V_n%28r%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cpi%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%7Dr%5En%7D%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7B2%7D%29%7D%20%24%24)
например объём 4-х мерного шара такой:
![$$ V_4(r ) = \frac{{\pi}^2r^4}{\Gamma(3)} = \frac{{\pi}^2r^4}{2} $$ $$ V_4(r ) = \frac{{\pi}^2r^4}{\Gamma(3)} = \frac{{\pi}^2r^4}{2} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20V_4%28r%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cpi%7D%5E2r%5E4%7D%7B%5CGamma%283%29%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cpi%7D%5E2r%5E4%7D%7B2%7D%20%24%24)
Площадь поверхности можно вычислить так:
![$$ S_n(r ) = \lim_{dr \to 0} {\frac{V_n(r+dr )-V_n(r )}{dr}} = V'_n(r ) = \frac{n{\pi}^{\frac{n}{2}}r^{n-1}}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$ $$ S_n(r ) = \lim_{dr \to 0} {\frac{V_n(r+dr )-V_n(r )}{dr}} = V'_n(r ) = \frac{n{\pi}^{\frac{n}{2}}r^{n-1}}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20S_n%28r%20%29%20%3D%20%5Clim_%7Bdr%20%5Cto%200%7D%20%7B%5Cfrac%7BV_n%28r%2Bdr%20%29-V_n%28r%20%29%7D%7Bdr%7D%7D%20%3D%20V%26%2339%3B_n%28r%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7Bn%7B%5Cpi%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%7D%7Dr%5E%7Bn-1%7D%7D%7B%5CGamma%28%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7B2%7D%29%7D%20%24%24)
например площадь 4-х мерной сферы:
![$$ S_4(r ) = 2{\pi}^2r^3 $$ $$ S_4(r ) = 2{\pi}^2r^3 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20S_4%28r%20%29%20%3D%202%7B%5Cpi%7D%5E2r%5E3%20%24%24)
Транслятор почему то не переносит сочетаний "r)", приходиться писать c пробелом: "r )"
Кто сможет вычислить объём n-мерного шара и его площадь ?
Я знаю сухой метод такого вычисления, через гамма и бета функции, но может кто-то знает, как это вычислить по простому.
Буду благодарен (т.e. рейтинг подниму за любые дельные мысли.
Пусть объём n-мерного шара выражается так:
где
Вычислим этот объём другим образом:
далее сделаем замену
поскольку
далее вычислим
отсюда прлучаем окончательный результат
например объём 4-х мерного шара такой:
Площадь поверхности можно вычислить так:
например площадь 4-х мерной сферы:
Транслятор почему то не переносит сочетаний "r)", приходиться писать c пробелом: "r )"