Объём n-мерного шара

secam · Сообщение **secam** » 20 май 2014, 16:09

Формулы для вычисления объёмов n-мерных шаров

для четных размерностей (0,2,4,...)

$V_{2n}=\frac{\pi^n}{n!}R^{2n}$

для нечетных размерностей (1,3,5,...)

$V_{2n+1}=\frac{2^{2n+1}n!\pi^n}{(2n+1)!}R^{2n+1}$

secam · Сообщение **secam** » 22 май 2014, 22:39

Разложение функции

$e^{{\pi}R^2}(1+erf(\sqrt{\pi}R))$

в ряд по R дает сумму объемов n-мерных шаров радиуса R с размерностями от 0 до $\infty$

$1+2R+{\pi}R^2+\frac{4{\pi}R^3}{3}+\frac{{\pi}^{2}R^4}{2}+\frac{8{\pi}^{2}R^5}{15}+\frac{{\pi}^{3}R^6}{6}+\frac{16{\pi}^{3}R^7}{105}+\frac{{\pi}^{4}R^8}{24}+\frac{32{\pi}^{4}R^9}{945}+...$

(функция ошибок: $erf(X)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{X} e^{-x^2} dx$ )

Вычисление 1-й, 2-й и т.д. производных по R позволяет найти объемы объектов, ограничивающих данный объем.

Дятел · Сообщение **Дятел** » 07 окт 2014, 15:04

И вот спустя почти 7 лет...
Есть удобный способ, которым можно быстро посчитать объём n-мерной сферы. Это как считать Гаусса, только наоборот
Чтобы посчитать Гаусса, можно возвести интеграл в квадрат и перейти к полярным координатам, в которых всё легко интегрируется. А чтобы посчитать поверхность n-мерной единичной сферы, можно возвести интеграл от функции Гаусса в степень n и выразить искомый интеграл (по телесному углу от единицы).

vanek.rodkin

А есть какая-нибудь общая формула для всех размерностей: и четных, и нечетных? (Не та, которая в основном посте)

vanek.rodkin

А можно формулу с примером пожалуйста

yourdomain.com