Объём n-мерного шара

Draeden · Сообщение **Draeden** » 17 янв 2008, 21:18

Я сомневаюсь, что эта тема вызовет хоть какой-то интерес, но всё же её открою.
Кто сможет вычислить объём n-мерного шара и его площадь ?
Я знаю сухой метод такого вычисления, через гамма и бета функции, но может кто-то знает, как это вычислить по простому.
Буду благодарен (т.e. рейтинг подниму за любые дельные мысли.

Пусть объём n-мерного шара выражается так:

$$ V_n(r )=c_nr^n $$

где

- некоторая константа, $$ r $$

- радиус шара.
Вычислим этот объём другим образом:

$V_n(r ) = \int _{-r} ^{r} {V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) dx} = 2 \int _0 ^r {c_{n-1}(r^2-x^2)^{\frac{n-1}{2}}dx} = 2c_{n-1} \int_0^r{(1-\frac{x^2}{r^2})^{\frac{n-1}{2}r^{n-1}}dx}$

далее сделаем замену $x=r\sqrt{t}$

$V_n(r ) = c_{n-1}r^n \int_0^1{(1-t)^{\frac{n+1}{2}-1}t^{\frac{1}{2}-1}dt} = c_{n-1}r^n B(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} c_{n-1} r^n \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})}$

поскольку $$ V_n(r )=c_n r^n $$

то

$\frac{c_n}{c_{n-1}}=\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+2}{2})}$

далее вычислим $$ c_n $$

зная, что $c_2 = \pi$

$\frac{c_n}{c_2} = \frac{c_3}{c_2} \frac{c_4}{c_3} \cdots \frac{c_n}{c_{n-1}} = {\pi}^{\frac{n}{2}-1}\frac{1}{\Gamma(\frac{n+2}{2})}$

отсюда прлучаем окончательный результат

$c_n = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n+2}{2})} \\ V_n(r ) = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}r^n}{\Gamma(\frac{n+2}{2})}$

например объём 4-х мерного шара такой:

$V_4(r ) = \frac{{\pi}^2r^4}{\Gamma(3)} = \frac{{\pi}^2r^4}{2}$

Площадь поверхности можно вычислить так:

$S_n(r ) = \lim_{dr \to 0} {\frac{V_n(r+dr )-V_n(r )}{dr}} = V'_n(r ) = \frac{n{\pi}^{\frac{n}{2}}r^{n-1}}{\Gamma(\frac{n+2}{2})}$

например площадь 4-х мерной сферы:
$S_4(r ) = 2{\pi}^2r^3$

Транслятор почему то не переносит сочетаний "r)", приходиться писать c пробелом: "r )"

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 18 янв 2008, 00:00

Насколько я помню, площадь поверхности шара в n-мерном пространстве есть производная от объема по радиусу

Draeden · Сообщение **Draeden** » 18 янв 2008, 11:06

Гммм... вообщето я это написал.
Вы случайно не знаете нормальных способов высиления объёма шара ?

YURI · Сообщение **YURI** » 21 янв 2008, 17:37

Draeden писал(а):Source of the post
Вы случайно не знаете нормальных способов высиления объёма шара ?

Что Вы понимаете под <<нормальным>> способом? По-моему, Ваш - вполне нормален.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 21 янв 2008, 18:56

Нормальный в том смысле, что для получения этой формулы не понадобится 2 кг теории.
Как нибудь на школьном уровне, что ли...

YURI · Сообщение **YURI** » 21 янв 2008, 19:08

Draeden писал(а):Source of the post
Нормальный в том смысле, что для получения этой формулы не понадобится 2 кг теории.
Как нибудь на школьном уровне, что ли...

Согласен, для меня более простое решение - это решение используещее более простую теорию
(зато порой оно может занять 2 кг текста, даже Вашим почерком )

Интегрирование - школьный метод. Именно так выводится в школьном курсе Объём и площадь трёхмерного шара.

Существуют изящные <<нормальные способы>> Один из них например основывается на принципе Кавальери (полагаю Вы знаете его).

Draeden · Сообщение **Draeden** » 21 янв 2008, 19:24

...даже Вашим почерком...

хммм... a откуда Вы знаете мой почерк ?

...принцип Кавальери...

c таким не знаком к сожалению

YURI · Сообщение **YURI** » 22 янв 2008, 13:47

хммм... a откуда Вы знаете мой почерк ?

Просто догадался ---

Отвечая на вопрос я потратил два листа A4 (пишу я очень мелко, то что иные помещают в 180 листов, у меня займёт всего 5 листов).

Draeden · Сообщение **Draeden** » 22 янв 2008, 13:55

гммм... да, надо синхронизировать текст в разных темах...

YURI · Сообщение **YURI** » 22 янв 2008, 15:05

...принцип Кавальери...

c таким не знаком к сожалению

Принцип Кавальери.
Очень прост. Строго обосновывается c применением интегрального исчисления (и никуда от него не скрыться нам). Кавальери, однако, как я понимаю, пользовался им без строгого док-ва. Действительно, принцип очень уж нагляден и интуитивно понятен.

Рассмотрим два тела, заключённые между двумя параллельными плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$ (см. рис)
Если любая плоскость, заключённая между этими плоскостями и параллельная им пересекает оба тела так, что площадь сечения первого тела в $$k$$

раз больше (меньше) площади сечения второго тела, притом если $$k=const$$

для любой такой плоскости, то объём первого тела в $$k$$

раз больше (меньше) объёма второго.
Подбирая <<удобное>> тело, формула объёма которого известна, можно отыскать и объём нужного тела. Предлагаю (если интересно) подумать над этим самостоятельно (трёхмерный шар).

yourdomain.com