Страница 1 из 2
Несложный предел
Добавлено: 29 дек 2007, 22:19
Draeden
Мы в школе начали проходить пределы, пытались на уроке решить такую задачку:
![$$ \lim_{x\right\(+0)} ({ \frac { sin ( \sqrt x ) - ln ( 1 + \sqrt{x} ) } { x^x - 1 } ln x^{ e \sqrt { x^x } } }) $$ $$ \lim_{x\right\(+0)} ({ \frac { sin ( \sqrt x ) - ln ( 1 + \sqrt{x} ) } { x^x - 1 } ln x^{ e \sqrt { x^x } } }) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Clim_%7Bx%5Cright%5C%28%2B0%29%7D%20%28%7B%20%5Cfrac%20%7B%20sin%20%28%20%5Csqrt%20x%20%29%20-%20ln%20%28%201%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%29%20%7D%20%7B%20x%5Ex%20-%201%20%7D%20ln%20x%5E%7B%20e%20%5Csqrt%20%7B%20x%5Ex%20%7D%20%7D%20%7D%29%20%24%24)
но у нас ничего не получилось
Несложный предел
Добавлено: 29 дек 2007, 23:40
vladb314
И правда несложный. Mathematica выдаёт e/2
Несложный предел
Добавлено: 29 дек 2007, 23:44
Draeden
хммм... я считал его устно и получил
![$$ \frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{2} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%24%24)
, наверно гдето ошибся :search:
Несложный предел
Добавлено: 30 дек 2007, 19:27
Draeden
Неужели никто не предложит решение ?
Несложный предел
Добавлено: 30 дек 2007, 20:31
AV_77
![$$ \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} \ln x^{e \sqrt{x^x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} e \sqrt{x^x} \ln x = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} \ln x = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{\frac{x^x - 1}{\ln x}} = \frac{0}{0} $$ $$ \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} \ln x^{e \sqrt{x^x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} e \sqrt{x^x} \ln x = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} \ln x = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{\frac{x^x - 1}{\ln x}} = \frac{0}{0} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Cln%20%281%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%29%7D%7Bx%5Ex%20-%201%7D%20%5Cln%20x%5E%7Be%20%5Csqrt%7Bx%5Ex%7D%7D%20%3D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Cln%20%281%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%29%7D%7Bx%5Ex%20-%201%7D%20e%20%5Csqrt%7Bx%5Ex%7D%20%5Cln%20x%20%3D%20e%20%5Ccdot%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Cln%20%281%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%29%7D%7Bx%5Ex%20-%201%7D%20%5Cln%20x%20%3D%20e%20%5Ccdot%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Cln%20%281%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%29%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5Ex%20-%201%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D%20%24%24)
Применяем правило Лопиталя:
![$$ e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{\frac{x^x - 1}{\ln x}} = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\cos \sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{1+\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}} }{\frac{ x^x (\ln x + 1) \ln x - \frac{1}{x} (x^x - 1) }{ \ln^2 x }} = \frac{e}{2} \lim_{x \to +0} \frac{ \ln^2 x }{ \ln^2 x - \frac{x^x-1}{x} } = \frac{e}{2} \lim_{x \to +0} \frac{x \ln^2 x}{ x \ln^2 x - x^x + 1 } = \frac{e}{2}. $$ $$ e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{\frac{x^x - 1}{\ln x}} = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\cos \sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{1+\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}} }{\frac{ x^x (\ln x + 1) \ln x - \frac{1}{x} (x^x - 1) }{ \ln^2 x }} = \frac{e}{2} \lim_{x \to +0} \frac{ \ln^2 x }{ \ln^2 x - \frac{x^x-1}{x} } = \frac{e}{2} \lim_{x \to +0} \frac{x \ln^2 x}{ x \ln^2 x - x^x + 1 } = \frac{e}{2}. $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20e%20%5Ccdot%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Csqrt%7Bx%7D%20-%20%5Cln%20%281%20%2B%20%5Csqrt%7Bx%7D%29%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5Ex%20-%201%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%20%3D%20e%20%5Ccdot%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7B%20x%5Ex%20%28%5Cln%20x%20%2B%201%29%20%5Cln%20x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%28x%5Ex%20-%201%29%20%7D%7B%20%5Cln%5E2%20x%20%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Be%7D%7B2%7D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7B%20%5Cln%5E2%20x%20%7D%7B%20%5Cln%5E2%20x%20-%20%5Cfrac%7Bx%5Ex-1%7D%7Bx%7D%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Be%7D%7B2%7D%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%2B0%7D%20%5Cfrac%7Bx%20%5Cln%5E2%20x%7D%7B%20x%20%5Cln%5E2%20x%20-%20x%5Ex%20%2B%201%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Be%7D%7B2%7D.%20%24%24)
Вроде нигде не ошибся.
Несложный предел
Добавлено: 30 дек 2007, 20:41
Draeden
эээ... в знаменателе стоит
![$$ x^x-1 $$ $$ x^x-1 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20x%5Ex-1%20%24%24)
a не
![$$ x^2-1 $$ $$ x^2-1 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20x%5E2-1%20%24%24)
, хотя ответ верный.
Несложный предел
Добавлено: 30 дек 2007, 20:43
AV_77
Да, опечатался. Уже исправил.
Несложный предел
Добавлено: 30 дек 2007, 21:00
Draeden
Ну чтож, предел решён (я предполагал разложение в ряд Тейлора, но AV_77 вычислил предел проще).
Предлагаю такую задачу:
![$$ f(x) = sin ( 1 + \frac{f(x)} { 2} ) $$ $$ f(x) = sin ( 1 + \frac{f(x)} { 2} ) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20f%28x%29%20%3D%20sin%20%28%201%20%2B%20%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%20%7B%202%7D%20%29%20%24%24)
вычислить
![$$ f(0) $$ $$ f(0) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20f%280%29%20%24%24)
.
Несложный предел
Добавлено: 30 дек 2007, 21:26
a_l_e_x86
Если предположить что функция дифференцируема, и взять производную от обеих частей, получим
![$$f'(x)=cos(1+0.5f(x))0.5f'(x)$$ $$f'(x)=cos(1+0.5f(x))0.5f'(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28x%29%3Dcos%281%2B0.5f%28x%29%290.5f%26%2339%3B%28x%29%24%24)
![$$f'(x)(cos(1+0.5f(x))-2)=0$$ $$f'(x)(cos(1+0.5f(x))-2)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28x%29%28cos%281%2B0.5f%28x%29%29-2%29%3D0%24%24)
, следовательно
![$$f'(x)=0$$ $$f'(x)=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%26%2339%3B%28x%29%3D0%24%24)
или
![$$f(x)=c$$ $$f(x)=c$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%3Dc%24%24)
.
Таким образом f(0)=c, где c - корень уравнения
![$$sin(1+0.5c)=c$$ $$sin(1+0.5c)=c$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24sin%281%2B0.5c%29%3Dc%24%24)
Несложный предел
Добавлено: 30 дек 2007, 21:28
vladb314
Да, причем численное его значение c = 0,997402...