Несложный предел

Draeden · Сообщение **Draeden** » 29 дек 2007, 22:19

Мы в школе начали проходить пределы, пытались на уроке решить такую задачку:

$\lim_{x\right\(+0)} ({ \frac { sin ( \sqrt x ) - ln ( 1 + \sqrt{x} ) } { x^x - 1 } ln x^{ e \sqrt { x^x } } })$

но у нас ничего не получилось

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 29 дек 2007, 23:40

И правда несложный. Mathematica выдаёт e/2

Draeden · Сообщение **Draeden** » 29 дек 2007, 23:44

хммм... я считал его устно и получил $\frac{1}{2}$ , наверно гдето ошибся :search:

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 19:27

Неужели никто не предложит решение ?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 30 дек 2007, 20:31

Draeden писал(а):Source of the post
Неужели никто не предложит решение ?

$\lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} \ln x^{e \sqrt{x^x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} e \sqrt{x^x} \ln x = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{x^x - 1} \ln x = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{\frac{x^x - 1}{\ln x}} = \frac{0}{0}$
Применяем правило Лопиталя:
$e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\sin \sqrt{x} - \ln (1 + \sqrt{x})}{\frac{x^x - 1}{\ln x}} = e \cdot \lim_{x \to +0} \frac{\cos \sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{1+\sqrt{x}} \frac{1}{2\sqrt{x}} }{\frac{ x^x (\ln x + 1) \ln x - \frac{1}{x} (x^x - 1) }{ \ln^2 x }} = \frac{e}{2} \lim_{x \to +0} \frac{ \ln^2 x }{ \ln^2 x - \frac{x^x-1}{x} } = \frac{e}{2} \lim_{x \to +0} \frac{x \ln^2 x}{ x \ln^2 x - x^x + 1 } = \frac{e}{2}.$

Вроде нигде не ошибся.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 20:41

эээ... в знаменателе стоит $$ x^x-1 $$

a не

, хотя ответ верный.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 30 дек 2007, 20:43

Draeden писал(а):Source of the post
эээ... в знаменателе стоит a не , хотя ответ верный.

Да, опечатался. Уже исправил.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 21:00

Ну чтож, предел решён (я предполагал разложение в ряд Тейлора, но AV_77 вычислил предел проще).
Предлагаю такую задачу:

$f(x) = sin ( 1 + \frac{f(x)} { 2} )$

вычислить $$ f(0) $$

.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 30 дек 2007, 21:26

Если предположить что функция дифференцируема, и взять производную от обеих частей, получим
$$f'(x)=cos(1+0.5f(x))0.5f'(x)$$

, следовательно
$$f'(x)=0$$

или

.
Таким образом f(0)=c, где c - корень уравнения
$$sin(1+0.5c)=c$$

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 21:28

Да, причем численное его значение c = 0,997402...

yourdomain.com