Сходимость рядов

Draeden · Сообщение **Draeden** » 25 дек 2007, 23:18

Исследовать ряд на сходимость:
$\sum_{n=2}^{\infty}{ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})}$

venja · Сообщение **venja** » 26 дек 2007, 18:43

Это знакочередующийся ряд (под логарифмом то больше 1. то меньше). Попробуйте признак Лейбница сходимости таких рядов. Самое трудное будет доказать монотонное убывание (c ростом n) модулей таких логарифмов. Попробуйте.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 26 дек 2007, 20:56

метод Лейбница требует монотонно убывающей по модулю, знакопеременной последовательности. Тогда необходимо доказать убывание модуля данного логарифма, интересно как это сделать...

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 27 дек 2007, 00:23

Draeden писал(а):Source of the post
метод Лейбница требует монотонно убывающей по модулю, знакопеременной последовательности. Тогда необходимо доказать убывание модуля данного логарифма, интересно как это сделать...

... воспользоваться тем, что натуральный логарифм является возрастающей функцией.

bot · Сообщение **bot** » 27 дек 2007, 08:20

Ряд расходится. Сгруппируйте попарно и воспользуйтесь эквивалентностью $\ln (1+x)\sim x$
Более общо: ряд $\sum_{n=2}^{\infty}{\ln(1+\frac{(-1)^n}{n^p})}$ сходится абсолютно при $$ p > 1$$

, сходится условно при $\frac{1}{2} < p \le 1$ и расходится при $p \le \frac{1}{2}$ .

Draeden · Сообщение **Draeden** » 27 дек 2007, 17:01

хммм... a ведь ты прав

Draeden · Сообщение **Draeden** » 28 дек 2007, 00:09

A вот ещё один ряд:

$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + ...$

т.e. разделим все дроби вида $\frac{1}{n}$ на две группы: c чётными знаменателями и нечётными. Теперь будем выбирать по две "нечётные" дроби и одной "чётной" выписывая такие тройки.
Этот ряд сходится ?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 29 дек 2007, 17:18

Чтож, раз идей нет, предложу своё "решение":

разобьём ряд на тройки, каждая такая тройка запишется как

$-\frac{1}{2k} + \frac{1}{4k-3} + \frac{1}{4k-1} = \frac{8k-3}{2k(4k-3)(4k-1)} \sim \frac{1}{4k^2}$

ряд сходится, но это не так. Где ошибка ?

Gaudeamus · Сообщение **Gaudeamus** » 29 дек 2007, 17:33

Draeden писал(а):Source of the post
Чтож, раз идей нет, предложу своё "решение":

разобьём ряд на тройки, каждая такая тройка запишется как

$-\frac{1}{2k} + \frac{1}{4k-3} + \frac{1}{4k-1} = \frac{8k-3}{2k(4k-3)(4k-1)} \sim \frac{1}{4k^2}$

ряд сходится, но это не так. Где ошибка ?

Впринципе, при группировке членов расходящегося ряда можно получить сходящийся. Так что, Вашим выводам ничего не противоречит

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 19:05

Неужели никто не знает как посчитать ряд ?

yourdomain.com