![$$y=\frac {x^3} {3-x^2}$$ $$y=\frac {x^3} {3-x^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D%5Cfrac%20%7Bx%5E3%7D%20%7B3-x%5E2%7D%24%24)
Производная функции равна:
![$$y'=\frac {(3x^2)(3-x^2)-(-2x)(x^3)} {(3-x^2)^2}=\frac {9x^2-x^4} {(3-x^2)^2} = \frac{(3-x)(3+x)x^2 }{(3-x^2)^2 }$$ $$y'=\frac {(3x^2)(3-x^2)-(-2x)(x^3)} {(3-x^2)^2}=\frac {9x^2-x^4} {(3-x^2)^2} = \frac{(3-x)(3+x)x^2 }{(3-x^2)^2 }$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%3D%5Cfrac%20%7B%283x%5E2%29%283-x%5E2%29-%28-2x%29%28x%5E3%29%7D%20%7B%283-x%5E2%29%5E2%7D%3D%5Cfrac%20%7B9x%5E2-x%5E4%7D%20%7B%283-x%5E2%29%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%283-x%29%283%2Bx%29x%5E2%20%7D%7B%283-x%5E2%29%5E2%20%7D%24%24)
Корни производной:
![$$ x = 0,\ \pm 3 $$ $$ x = 0,\ \pm 3 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20x%20%3D%200%2C%5C%20%5Cpm%203%20%24%24)
. Точки разрыва:
![$$ x = \pm \sqrt{3} $$ $$ x = \pm \sqrt{3} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20x%20%3D%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B3%7D%20%24%24)
.
Имеем следующие интервалы убывания-возрастания функции:
![$$ (-\infty, -3),\ (-3, -\sqrt{3}),\ (-\sqrt{3}, 0),\ (0, \sqrt{3}),\ (\sqrt{3}, 3),\ (3, +\infty) $$ $$ (-\infty, -3),\ (-3, -\sqrt{3}),\ (-\sqrt{3}, 0),\ (0, \sqrt{3}),\ (\sqrt{3}, 3),\ (3, +\infty) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28-%5Cinfty%2C%20-3%29%2C%5C%20%28-3%2C%20-%5Csqrt%7B3%7D%29%2C%5C%20%28-%5Csqrt%7B3%7D%2C%200%29%2C%5C%20%280%2C%20%5Csqrt%7B3%7D%29%2C%5C%20%28%5Csqrt%7B3%7D%2C%203%29%2C%5C%20%283%2C%20%2B%5Cinfty%29%20%24%24)
.
Определяем знаки производной в этих интервалах. Получим соответственно:
![$$ (-\infty, -3):\quad f'(x) < 0,\\ (-3, -\sqrt{3}):\quad f'(x) > 0, \\ (-\sqrt{3}, 0):\quad f'(x) > 0, \\ (0, \sqrt{3}):\quad f'(x) > 0, \\ (\sqrt{3}, 3):\quad f'(x) > 0, \\ (3, +\infty): \quad f'(x) < 0. $$ $$ (-\infty, -3):\quad f'(x) < 0,\\ (-3, -\sqrt{3}):\quad f'(x) > 0, \\ (-\sqrt{3}, 0):\quad f'(x) > 0, \\ (0, \sqrt{3}):\quad f'(x) > 0, \\ (\sqrt{3}, 3):\quad f'(x) > 0, \\ (3, +\infty): \quad f'(x) < 0. $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28-%5Cinfty%2C%20-3%29%3A%5Cquad%20f%26%2339%3B%28x%29%20%3C%200%2C%5C%5C%20%28-3%2C%20-%5Csqrt%7B3%7D%29%3A%5Cquad%20f%26%2339%3B%28x%29%20%3E%200%2C%20%5C%5C%20%28-%5Csqrt%7B3%7D%2C%200%29%3A%5Cquad%20f%26%2339%3B%28x%29%20%3E%200%2C%20%5C%5C%20%280%2C%20%5Csqrt%7B3%7D%29%3A%5Cquad%20f%26%2339%3B%28x%29%20%3E%200%2C%20%5C%5C%20%28%5Csqrt%7B3%7D%2C%203%29%3A%5Cquad%20f%26%2339%3B%28x%29%20%3E%200%2C%20%5C%5C%20%283%2C%20%2B%5Cinfty%29%3A%20%5Cquad%20f%26%2339%3B%28x%29%20%3C%200.%20%24%24)
Затем,
![$$ \lim_{x \to -\sqrt{3}-0} \frac{x^3}{3-x^2} = +\infty, $$ $$ \lim_{x \to -\sqrt{3}-0} \frac{x^3}{3-x^2} = +\infty, $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-%5Csqrt%7B3%7D-0%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3-x%5E2%7D%20%3D%20%2B%5Cinfty%2C%20%24%24)
![$$ \lim_{x \to -\sqrt{3}+0} \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty, $$ $$ \lim_{x \to -\sqrt{3}+0} \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty, $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20-%5Csqrt%7B3%7D%2B0%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3-x%5E2%7D%20%3D%20-%5Cinfty%2C%20%24%24)
![$$ \lim_{x \to \sqrt{3}-0} \frac{x^3}{3-x^2} = +\infty, $$ $$ \lim_{x \to \sqrt{3}-0} \frac{x^3}{3-x^2} = +\infty, $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Csqrt%7B3%7D-0%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3-x%5E2%7D%20%3D%20%2B%5Cinfty%2C%20%24%24)
![$$ \lim_{x \to \sqrt{3}+0} \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty. $$ $$ \lim_{x \to \sqrt{3}+0} \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty. $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Clim_%7Bx%20%5Cto%20%5Csqrt%7B3%7D%2B0%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3-x%5E2%7D%20%3D%20-%5Cinfty.%20%24%24)
Таким образом, график функции выгляит следующим образом.
1) Ha интервале
![$$ (-\infty, -3) $$ $$ (-\infty, -3) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28-%5Cinfty%2C%20-3%29%20%24%24)
функция убывает от
![$$ + \infty $$ $$ + \infty $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%2B%20%5Cinfty%20%24%24)
до минимума в точке x = -3.
2) Ha интервале
![$$ (-3, -\sqrt{3}) $$ $$ (-3, -\sqrt{3}) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28-3%2C%20-%5Csqrt%7B3%7D%29%20%24%24)
функция возрастает от своего минимума до
![$$ + \infty $$ $$ + \infty $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%2B%20%5Cinfty%20%24%24)
.
3) Ha интервале
![$$ (-\sqrt{3}, +\sqrt{3}) $$ $$ (-\sqrt{3}, +\sqrt{3}) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28-%5Csqrt%7B3%7D%2C%20%2B%5Csqrt%7B3%7D%29%20%24%24)
функция возрастает от
![$$ -\infty $$ $$ -\infty $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20-%5Cinfty%20%24%24)
до
![$$ + \infty $$ $$ + \infty $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%2B%20%5Cinfty%20%24%24)
.
4) Ha интервале
![$$ (\sqrt{3}, 3) $$ $$ (\sqrt{3}, 3) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28%5Csqrt%7B3%7D%2C%203%29%20%24%24)
функция возрастает от
![$$ -\infty $$ $$ -\infty $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20-%5Cinfty%20%24%24)
до максимума в точке x = 3.
5) Ha интервале
![$$ (3, +\infty) $$ $$ (3, +\infty) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%283%2C%20%2B%5Cinfty%29%20%24%24)
функция убывает от максимума до
![$$ -\infty $$ $$ -\infty $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20-%5Cinfty%20%24%24)
.