График и производная

Yoh · Сообщение **Yoh** » 01 дек 2007, 23:20

Доброго времени суток
Дана функция:
$y=\frac {x^3} {3-x^2}$
Производная функции равна:
$y'=\frac {(3*x^2)*(3-x^2)-(-2*x)*(x^3)} {(3-x^2)^2}=\frac {9*x^2-x^4} {(3-x^2)^2}$
Ho при построении графика прромежутков, где меняется знак производной, больше.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 02 дек 2007, 00:23

Yoh писал(а):Source of the post
Доброго времени суток
Дана функция:
$y=\frac {x^3} {3-x^2}$
Производная функции равна:
$y'=\frac {(3*x^2)*(3-x^2)-(-2*x)*(x^3)} {(3-x^2)^2}=\frac {9*x^2-x^4} {(3-x^2)^2}$
Ho при построении графика прромежутков, где меняется знак производной, больше.

Просто у Bac график построен не правильно: в точках $x = \pm \sqrt{3}$ функция имеет разрывы.

Yoh · Сообщение **Yoh** » 02 дек 2007, 14:04

Разрывы графика в этих точках я указал.
B точках 2 и -2 производная должна быть равна 0 или не существовать вовсе, но у меня не получается это объяснить.
AV_77, пожалуйста, объясните подробнее в чем моя ошибка и какой должен будет получиться результат

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 02 дек 2007, 14:49

$y=\frac {x^3} {3-x^2}$
Производная функции равна:
$y'=\frac {(3x^2)(3-x^2)-(-2x)(x^3)} {(3-x^2)^2}=\frac {9x^2-x^4} {(3-x^2)^2} = \frac{(3-x)(3+x)x^2 }{(3-x^2)^2 }$
Корни производной: $x = 0,\ \pm 3$ . Точки разрыва: $x = \pm \sqrt{3}$ .
Имеем следующие интервалы убывания-возрастания функции:
$(-\infty, -3),\ (-3, -\sqrt{3}),\ (-\sqrt{3}, 0),\ (0, \sqrt{3}),\ (\sqrt{3}, 3),\ (3, +\infty)$ .
Определяем знаки производной в этих интервалах. Получим соответственно:
$(-\infty, -3):\quad f'(x) < 0,\\ (-3, -\sqrt{3}):\quad f'(x) > 0, \\ (-\sqrt{3}, 0):\quad f'(x) > 0, \\ (0, \sqrt{3}):\quad f'(x) > 0, \\ (\sqrt{3}, 3):\quad f'(x) > 0, \\ (3, +\infty): \quad f'(x) < 0.$
Затем,
$\lim_{x \to -\sqrt{3}-0} \frac{x^3}{3-x^2} = +\infty,$
$\lim_{x \to -\sqrt{3}+0} \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty,$
$\lim_{x \to \sqrt{3}-0} \frac{x^3}{3-x^2} = +\infty,$
$\lim_{x \to \sqrt{3}+0} \frac{x^3}{3-x^2} = -\infty.$

Таким образом, график функции выгляит следующим образом.
1) Ha интервале $(-\infty, -3)$ функция убывает от $+ \infty$ до минимума в точке x = -3.
2) Ha интервале $(-3, -\sqrt{3})$ функция возрастает от своего минимума до $+ \infty$ .
3) Ha интервале $(-\sqrt{3}, +\sqrt{3})$ функция возрастает от $-\infty$ до $+ \infty$ .
4) Ha интервале $(\sqrt{3}, 3)$ функция возрастает от $-\infty$ до максимума в точке x = 3.
5) Ha интервале $(3, +\infty)$ функция убывает от максимума до $-\infty$ .

Yoh · Сообщение **Yoh** » 02 дек 2007, 15:10

Благодарю за разъяснения

yourdomain.com