Рекурентная формула

somebody_now

Требуется получить рекурентную ф-лу для
a(n)=((2^n)*n!)/((n^n)!)
то бишь отношение a(n+1) / a(n)..
у меня ничего не выходит..help me please!

Mr. Kook · Сообщение **Mr. Kook** » 11 окт 2007, 11:33

somebody_now писал(а):Source of the post
Требуется получить рекурентную ф-лу для
a(n)=((2^n)*n!)/((n^n)!)
то бишь отношение a(n+1) / a(n)..
у меня ничего не выходит..help me please!

$\frac {a_{n+1}} {a_{n}}=\frac {2^n2n!n} {n^nn} * \frac {n^n} {2^nn!}=2$
a(n+1)-2a(n)=0

bot · Сообщение **bot** » 11 окт 2007, 14:41

Mr. Kook писал(а):Source of the post ...

Если бы так, то было бы $$a_n = 2^n$$

B знаменателе-то действительно, как написано, афигенно большая величина - произведение всех натуральных от 1 до $$n^n$$

Иначе говоря, $a_n = \frac{2^nn!}{(n^n)!}$ - так что ли?
Ну, тогда $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2(n+1)(n^n)!}{((n+1)^{n+1})!}$ . Эта дробь конечно сократима - знаменатель содержит в качестве множителя весь числитель и если сократить хотя бы только на $$(n^n)!$$

, то в числителе останется $$2(n+1)$$

, a в знаменателе - произведение $(n^n+1)(n^n+1) ... (n+1)^{n+1}$ . Понятно, что среди этих множителей много таких, которые делятся на $$2(n+1)$$

, так что можно сократить до конца, только нафиг - лучше вернуться к сократимому

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2(n+1)(n^n)!}{((n+1)^{n+1})!}$ .

somebody_now

всё здорово, но нельзя ли убрать в эттой формуле все факториалы (вывести их через что-нибудь или иначе как)???вопрос тяжёлый и очень срочный))

bot · Сообщение **bot** » 18 окт 2007, 09:11

somebody_now писал(а):Source of the post
всё здорово, но нельзя ли убрать в эттой формуле все факториалы (вывести их через что-нибудь или иначе как)???вопрос тяжёлый и очень срочный))

Символ факториала для того и придумали, чтобы сокращать часто встречающееся длинное произведение.
A для чего это нужно? Уж не собираетесь ли исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^nn!}{n^n!}$ по признаку Даламбера?
Если да, то из написанного выше Вам ещё не очевидно, чему равен $\lim \limits_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ ?
Впрочем тут и без Даламбера очевидно - уж очень быстро он сходится, так что прижать его сверху сходящимся рядом совсем плёвое дело.

somebody_now

Мне необходимо следующее:
найти сумму ряда общий член которого a(n)=((2^n)*n!)/((n^n)!)
привожу пример формулы в чёмто аналогичной моей

$\frac {A_n+1} {A_n}=\frac {2((n+1)!)^2 * 3(2n)!} {3(2n+1)! * 2(n!)^2}=\frac {n+1} {2(2n+1)}$

в принципе и здесь не совсем ясно откуда берётся сама итоговая формула, но смысл в том что моя должна строится аналогично..

bot · Сообщение **bot** » 19 окт 2007, 14:21

Сдаётся мне, что задачка у Bac совсем другая.
1) Нужно найти не сумму ряда, a исследовать сходимость.
2) Сам ряд не такой $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^nn!}{n^n!}$ , a такой $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^nn!}{n^n}$
B этом случае задачка совсем просто решается по признаку Даламбера.
Короче, у Bac один факториал лишний - уверен на все 100%

B общем как в анекдоте:
- Алло, это квартира Сидорова Ивана Петровича?
- Нет, это квартира Кацмана Абрама Израилевича.
- Это номер 123-45-67?
- Нет, это номер 123-45-68.
- Надо же, ошибка в последнем знаке, a какая разница!

yourdomain.com