Упражнение из курса мат. анализа

f-only · Сообщение **f-only** » 08 сен 2007, 23:38

Пусть заданы числовые множества $X_{i}, i = 1,2,3,....,n$ и пусть
X = { $x: x_{1} + x_{2} + ... + x_{n}, x_{i} \in X_{i}, i = 1,2,3,...,n$ }
Доказать, что
supX = $\sum_{i = 1}^{n} = supX_{i}$
Изучаю мат. анализ самостоятельно, поэтому не у кого спросить. B приведенном мной упражнении я не могу понять условие. A именно, из чего состоит мн-во X? Пер ечислите кто-нибудь все его элементы. Я так понимаю, что Х мн-ву Х принадлежат все $x_{i}$ , все i , и сумма $x_{1} + x_{2} + x_{3}+...+x_{n}$ при этом я так понимаю, что эта сумма одно число? или это тоже какое-то мн-во.. Короче запутался.

[attachmentid=744]

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 09 сен 2007, 00:02

Проще пояснить на примере. Пусть n=2 и $X_1=\{1;2\}$ $X_2=\{3;4\}$
тогда $X=\{1+3; 1+4; 2+3; 2+4\} = \{4;5;6\}$
Действительно
$$sup X = 6 = supX_1 +sup X_2 = 2+4$$

f-only · Сообщение **f-only** » 09 сен 2007, 15:08

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Проще пояснить на примере. Пусть n=2 и $X_1=\{1;2\}$ $X_2=\{3;4\}$
тогда $X=\{1+3; 1+4; 2+3; 2+4\} = \{4;5;6\}$
Действительно

Теперь я еще сильнее запутался... Может пояснить на примере проще, но вот понять...

T.e. $X_{i}$ эта такая система множеств, состоящая из $X_{1} , X_{2}, ... ,X_{n}$ , причем $X_{1} = \{1;2\} , X_{2} = \{3;4\} ,..., X_{n} = \{2n-1;2n\}$ , a

$X=\{1+3; 1+4; 2+3; 2+4;...\}$ и т.д.

Ho как все это ясно из условия??? Объясни, пожалуйста!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 09 сен 2007, 16:43

f-only писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Проще пояснить на примере. Пусть n=2 и $X_1=\{1;2\}$ $X_2=\{3;4\}$
тогда $X=\{1+3; 1+4; 2+3; 2+4\} = \{4;5;6\}$
Действительно

Теперь я еще сильнее запутался... Может пояснить на примере проще, но вот понять...

T.e. $X_{i}$ эта такая система множеств, состоящая из $X_{1} , X_{2}, ... ,X_{n}$ , причем $X_{1} = \{1;2\} , X_{2} = \{3;4\} ,..., X_{n} = \{2n-1;2n\}$ , a

$X=\{1+3; 1+4; 2+3; 2+4;...\}$ и т.д.

Ho как все это ясно из условия??? Объясни, пожалуйста!

Введем операцию сложения множеств. Пусть $X = \{ x_1, x_2, \ldots, x_n \},$ $Y = \{ y_1, y_2, \ldots, y_m \}$ - два конечных множества. Положим тогда
$X + Y = \{x_1 + y_1,\ x_1 + y_2,\ \ldots,\ x_1 + y_m,\ x_2 + y_1,\ \ldots,\ x_2 + y_m,\ \ldots,\ x_n + y_1,\ \ldots,\ x_n + y_m \}$ ,
т.e. сумма множеств X и Y состоит из всевозможных сумм одного элемента из X и одного элемента из Y.
Эта сумма обладает свойствами ассоциативности $$ (X + Y) + Z = X + (Y + Z) $$

и коммутативности $$ X + Y = Y + X $$

. Таким образом, мы можем определить сумму нескольких множеств, например,:
$$ X_1 + X_2 + X_3 = (X_1 + X_2) + X_3, $$

.
Аналогичное определение суммы сохраняется и для случая когда несколько, или все множетсва бесконечны.

Теперь возьми несколько конкретных множеств и распиши их сумму в соответствии c этим определением. Bce станет понятно.

Возвращаясь к задаче, видим, что
$X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$ .

f-only · Сообщение **f-only** » 09 сен 2007, 20:10

AV_77 писал(а):Source of the post
f-only писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Проще пояснить на примере. Пусть n=2 и $X_1=\{1;2\}$ $X_2=\{3;4\}$
тогда $X=\{1+3; 1+4; 2+3; 2+4\} = \{4;5;6\}$
Действительно

Теперь я еще сильнее запутался... Может пояснить на примере проще, но вот понять...

T.e. $X_{i}$ эта такая система множеств, состоящая из $X_{1} , X_{2}, ... ,X_{n}$ , причем $X_{1} = \{1;2\} , X_{2} = \{3;4\} ,..., X_{n} = \{2n-1;2n\}$ , a

$X=\{1+3; 1+4; 2+3; 2+4;...\}$ и т.д.

Ho как все это ясно из условия??? Объясни, пожалуйста!

Введем операцию сложения множеств. Пусть $X = \{ x_1, x_2, \ldots, x_n \},$ $Y = \{ y_1, y_2, \ldots, y_m \}$ - два конечных множества. Положим тогда
$X + Y = \{x_1 + y_1,\ x_1 + y_2,\ \ldots,\ x_1 + y_m,\ x_2 + y_1,\ \ldots,\ x_2 + y_m,\ \ldots,\ x_n + y_1,\ \ldots,\ x_n + y_m \}$ ,
т.e. сумма множеств X и Y состоит из всевозможных сумм одного элемента из X и одного элемента из Y.
Эта сумма обладает свойствами ассоциативности и коммутативности . Таким образом, мы можем определить сумму нескольких множеств, например,:

.
Аналогичное определение суммы сохраняется и для случая когда несколько, или все множетсва бесконечны.

Теперь возьми несколько конкретных множеств и распиши их сумму в соответствии c этим определением. Bce станет понятно.

Возвращаясь к задаче, видим, что
$X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$ .

Кажется я понял, что от меня требуется:

Доказать, что верхней гранью мн-ва, кот. является суммой других мн-в является сумма верхних граней этих мн-в! OK! B голове почти все прояснилось, кроме одной важной детали:
a где сказано, что $$X$$

- это сумма мн-в $X_{i}$ ?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 09 сен 2007, 20:46

f-only писал(а):Source of the post
a где сказано, что - это сумма мн-в $X_{i}$ ?

Давай смотреть определения. Начнем c двух множеств $X_1 = \{x_{11},\ \ldots,\ x_{1n} \}$ и $X_{2} = \{ x_{21},\ \ldots,\ x_{2m} \}$ :
$X_1 + X_2 = \{x_{11} + x_{21},\ \ldots,\ x_{1n} + x_{21},\ \ldots,\ x_{11} + x_{2m},\ \ldots,\ x_{1n} + x_{2m} \} = \{ x_{1i} + x_{2j}\ |\ x_{1i} \in X_1,\ x_{2j \in X_2 \}$ .

Пусть теперь дано n множеств:
$X_i = \{ x_{i1},\ \ldots,\ x_{i n_i \}$ , $i = 1, 2, \ldots, n$ . Тогда в соответствии c определением суммы множеств мы получим
$X_1 + \ldots + X_n = \{ x_{1j_1} + x_{2j_2} + \ldots + x_{n j_n},\ |\ x_{ij_i} \in X_i \}$ .
Эта запись означает, что сумма множеств состоит из всевозможных сумм элементов, взятых по одному из каждого множества. Ho это можно записать и более просто:
$X_1 + \ldots + X_n = \{ x_1 + \ldots + x_n\ |\ x_i \in X_i \}$ .
B результате мы получили условие задачи.

f-only · Сообщение **f-only** » 09 сен 2007, 23:04

После столь исчерпывающих комментариев, мне остается только доказать эту очевидность!

Пусть
$a_{1} = sup X_{1}$ ,
$a_{2} = sup X_{2}$ ,
...........
$a_{n} = sup X_{n}$

Для этого необходимо, чтобы выполнялось 2 условия:

усл.1) Для любого $x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}$

$a_{1} \geq x_{1}$ ;
$a_{2} \geq x_{2}$ ;
................
$a_{n} \geq x_{n}$
Опираясь на св-ва вещественных чисел, имеем:

$a_{1} + ... + a_{n} \geq x_{1} + ... + x_{n}$

но $a_{1} + ... + a_{n} = \sum_{i = 1}^{n}a_{i} = \sum_{i = 1}^{n}supX_{i}$ и $x_{1} + ... + x_{n} = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}$ , т.e.

$\sum_{i = 1}^{n}supX_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n}x_{i}$

усл.2)

Для любого $\epsilon > 0$ найдется $x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}$ ,
такой, что
$a_{1} - \epsilon < x_{1}$
$a_{2} - \epsilon < x_{2}$
.............
$a_{n} - \epsilon_{n} < x_{n}$

Опираясь на св-ва вещественных чисел, имеем (Пусть $\epsilon' = \sum_{i = 1}^{n}\epsilon_{i}$ )

$\sum_{i = 1}^{n}supX_{i} - \epsilon' < \sum_{i = 1}^{n}x_{i}$

Эти два условия и доказывают, что $\sum_{i = 1}^{n}supX_{i}$ является верхней гранью нашего мн-ва

$X = \{x: x_{1}+...+x_{n}, x_{i} \in X_{i}, i = 1,2,...,n\}$

Что скажете? По-моему все OK

yourdomain.com