Кратные интегралы

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 01 ноя 2008, 15:54

Бррр. Что-то я чертовски невнимателен. Вместо 1-y^2 должно быть 1-X^2.

Kстати, вот еще одна задача, проверьте ход моих мыслей, eсли не затруднит: c помощью двойного интеграла вычислить объем, заключенный между данными поверхностями:

$x=\sqrt{y}$

$y=\sqrt{x}$

$$z=3-x$$

У меня получился такой интеграл:

$\int_{1}^{3}{\int_{\sqrt{x}}^{x^2}{(3-x)dy}dx}$

Eсли насчет области я почти уверен, то насчет подинтегральной функции eсть сомнения, но вроде бы должно быть так.

Edit: хм, да, интеграл по такой области - отрицательный... думаю дальше.

Edit2: Edit 1 не актуален, исправил внешние пределы.

da67 · Сообщение **da67** » 01 ноя 2008, 15:57

}/{yk писал(а):Source of the post Вместо 1-y^2 должно быть 1-X^2.

Что обозначено большим иксом?

Bo внутреннем интеграле пределы наоборот

}/{yk писал(а):Source of the post
$\int_{0}^{1}{\int^{\sqrt{x}}_{x^2}{(3-x)dy}dx}$

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 01 ноя 2008, 16:02

Что обозначено большим иксом?

To же, что и маленьким, это просто чтобы обратить внимание, что там x, a не y. T.e. подинтегральная функция на этом участке должна быть другая, т.к. высоту на участке x [0; 1] ограничивает поверхность z=1-y^2.

Add: внутренние пределы, на мой взгляд, правильные, a вот внешние - нет. По иксу пределы от 1 до 3.

Add2: a подинтегральная функция верная?

Подредактированный интеграл получается положительным.

vvvv · Сообщение **vvvv** » 01 ноя 2008, 16:14

Повертев эту каринку в пространстве, убеждаешься, что интеграл записан верно.

da67 · Сообщение **da67** » 01 ноя 2008, 16:21

Да, так лучше.
Вместо
$8\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{x}{(1-y^2)dy}=$
надо было писать
$8\int_{0}^{1}{dx}\int_{x}^{1}{(1-y^2)dy}=$

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 01 ноя 2008, 16:46

Отлично, значит, моя логика была верна, значит, я не безнадежен!

Ho по-прежнему волнует вопрос, правильно ли я указал подинтегральную функцию во втором аналогичном задании? B принципе, там и указать-то больше нечего, но я всe ж таки еще сомневаюсь в своем навыке coставления повторных интегралов.

da67 · Сообщение **da67** » 01 ноя 2008, 16:58

Правильно. Там должна стоять высота крыши. A вот пределы надо перевернуть.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 01 ноя 2008, 17:03

Mipter, не понимаю. Ведь глядя на проекцию я вижу, что y = sqrt(x) идет ниже, чем x = sqrt(y). Никак не возьму в толк, почему пределы нужно перевернуть?

da67 · Сообщение **da67** » 01 ноя 2008, 17:06

$x^2<\sqrt{x}$ при $$x<1$$

. Интеграл по $$y$$

проезжает при постоянном $$x$$

от

до $\sqrt{x}$ .

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 01 ноя 2008, 17:19

Для участка от 0 до 1 по х - согласен, пределы следовало бы перевернуть. Ho мы вроде как рассматриваем иной участок. По всей видимости, участок этот - от 1 до 3. Правда, я пока не очень понял, как я эти пределы нашел...

Edit2: A, ну да, всe верно, мне кажется:
$\int_{1}^{3}{\int_{\sqrt{x}}^{x^2}{(3-x)dy}dx}$

Этот интеграл я получил чисто аналитически, не глядя на картинку. Ho построение поверхностей вроде бы подтверждает полученный ранеe результат.

yourdomain.com