Страница 8 из 11
Разрывные функции
Добавлено: 18 янв 2008, 21:08
vladb314
Draeden писал(а):Source of the post Конечно, то же метод: поделить все числа на рациональные и иррациональные, a рациональные разбить на
![$$ m $$ $$ m $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20m%20%24%24)
классов, причём несократимые дроби
![$$ \frac{p_1}{q_1} $$ $$ \frac{p_1}{q_1} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7Bp_1%7D%7Bq_1%7D%20%24%24)
и
![$$ \frac{p_2}{q_2} $$ $$ \frac{p_2}{q_2} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7Bp_2%7D%7Bq_2%7D%20%24%24)
относятся к одному классу, если
![$$ q_1 \equiv q2 (mod(m)) $$ $$ q_1 \equiv q2 (mod(m)) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20q_1%20%5Cequiv%20q2%20%28mod%28m%29%29%20%24%24)
Что-то я не понял...
Дроби
![$$ \frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{2} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%24%24)
и
![$$ \frac{1}{6} $$ $$ \frac{1}{6} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%24%24)
войдут в один класс, так как
![$$ 2 \equiv 6 (mod(2)) $$ $$ 2 \equiv 6 (mod(2)) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%202%20%5Cequiv%206%20%28mod%282%29%29%20%24%24)
.
Дроби
![$$ \frac{1}{3} $$ $$ \frac{1}{3} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%24%24)
и
![$$ \frac{1}{6} $$ $$ \frac{1}{6} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20%24%24)
также войдут в один класс, так как
![$$ 3 \equiv 6 (mod(3)) $$ $$ 3 \equiv 6 (mod(3)) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%203%20%5Cequiv%206%20%28mod%283%29%29%20%24%24)
.
Ho дроби
![$$ \frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{2} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%24%24)
и
![$$ \frac{1}{3} $$ $$ \frac{1}{3} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%24%24)
не войдут в один класс, так как
![$$ 2 \not\equiv 3 (mod(m)) $$ $$ 2 \not\equiv 3 (mod(m)) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%202%20%5Cnot%5Cequiv%203%20%28mod%28m%29%29%20%24%24)
ни при одном m.
Следовательно данные классы не есть классы эквивалентности и не могут быть разбиением множества.
Разрывные функции
Добавлено: 18 янв 2008, 21:49
Draeden
Я имел ввиду следующее: допустим мы хотим разбить рациональные числа на пять классов, тогда к первому классу будут принадлежать дроби co знаменателями
![$$ 5n $$ $$ 5n $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%205n%20%24%24)
, ко второй - co знаменателями
![$$ 5n+1 $$ $$ 5n+1 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%205n%2B1%20%24%24)
и т.д. Такое отношение будет отношением эквивалении.
Разрывные функции
Добавлено: 18 янв 2008, 22:10
vladb314
Да. Теперь у нас есть разбиение множества действительных чисел на любое наперёд заданное конечное число всюду плотных подмножетсв. K сожалению, данный способ не распространяется на бесконечность.
A можно ли разбить разбить множество действительных чисел на счётное число плотных подмножетсв?
Разрывные функции
Добавлено: 21 янв 2008, 20:12
vladb314
Продолжим тему Возвращаясь к функции Dreadena из сообщения #53, замечу, что для её построения требуется разбиение множества действительных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств (так как в правиле построения функции цикл повторяется счётное число раз). Доказать, что предельная функция будет существовать можно, доказательство несложное. Причём в правиле построения этой функции все эти плотные подмножетсва должны быть континуумами. Однако, на мой взгляд, можно обойтись и плотными счётными подножетсвами. Именно такое разбиение лежит в основе моего примера функции, график которой плотно заполняет всю координатную плоскость. Функция Dreadena сводится примерно к ней же.
Итак, пусть есть разбиение множества действительных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств, одно из которых - континуум (множество иррациональных чисел), остальные - счётные (подмножества рациональных чисел). Тогда данная функция задаётся следующим правилом:
![$$f(x) = \left\{ 0,\quad x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \\ q_1 ,\quad x \in Q_1 \\ q_2 ,\quad x \in Q_2 \\ \vdots \\ q_n ,\quad x \in Q_n \\ \vdots \\ \right$$ $$f(x) = \left\{ 0,\quad x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \\ q_1 ,\quad x \in Q_1 \\ q_2 ,\quad x \in Q_2 \\ \vdots \\ q_n ,\quad x \in Q_n \\ \vdots \\ \right$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24f%28x%29%20%3D%20%5Cleft%5C%7B%200%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Cbackslash%20%5Cmathbb%7BQ%7D%20%5C%5C%20q_1%20%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20Q_1%20%5C%5C%20q_2%20%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20Q_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20q_n%20%2C%5Cquad%20x%20%5Cin%20Q_n%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20%20%5Cright%24%24)
где
![$$\{ q_1 ,q_2 ,...,q_n ,...\} = \mathbb{Q}\backslash \{ 0\} $$ $$\{ q_1 ,q_2 ,...,q_n ,...\} = \mathbb{Q}\backslash \{ 0\} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5C%7B%20q_1%20%2Cq_2%20%2C...%2Cq_n%20%2C...%5C%7D%20%20%3D%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5Cbackslash%20%5C%7B%200%5C%7D%20%24%24)
;
![$$\mathbb{Q} = Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$ $$\mathbb{Q} = Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cmathbb%7BQ%7D%20%3D%20Q_1%20%20%5Csqcup%20Q_2%20%20%5Csqcup%20...%20%5Csqcup%20Q_n%20%20%5Csqcup%20...%24%24)
- разбиение множества рациональных чисел на счётное число всюду плотных подмножеств.
Вопрос,
как построить ![$$Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$ $$Q_1 \sqcup Q_2 \sqcup ... \sqcup Q_n \sqcup ...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24Q_1%20%20%5Csqcup%20Q_2%20%20%5Csqcup%20...%20%5Csqcup%20Q_n%20%20%5Csqcup%20...%24%24)
остаётся открытым
Разрывные функции
Добавлено: 21 янв 2008, 20:34
Draeden
Это точно
Я, кстати, не Dreaden a Draeden , ибо второе слово смысла не имеет, a первое имеет (я для этого буквы переставлял, a вы их вернули на место
Разрывные функции
Добавлено: 21 янв 2008, 20:49
Hottabych
vladb314 писал(а):Source of the post Да. Теперь у нас есть разбиение множества действительных чисел на любое наперёд заданное конечное число всюду плотных подмножетсв. K сожалению, данный способ не распространяется на бесконечность.
A можно ли разбить разбить множество действительных чисел на
счётное число плотных подмножетсв?
Возьмите Q, Q+sqrt(2), Q+2*sqrt(2),... Q+n*sqrt(2),....
Разрывные функции
Добавлено: 21 янв 2008, 21:21
Draeden
Respect
Hottabych ! +1
Действительно, возьмём функцию:
![$$ f_r(x,y)=x+y\sqrt{r} \\ x,y,r \in Q \setminus \{0\} $$ $$ f_r(x,y)=x+y\sqrt{r} \\ x,y,r \in Q \setminus \{0\} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20f_r%28x%2Cy%29%3Dx%2By%5Csqrt%7Br%7D%20%5C%5C%20x%2Cy%2Cr%20%5Cin%20Q%20%5Csetminus%20%5C%7B0%5C%7D%20%24%24)
если брать
![$$ r $$ $$ r $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20r%20%24%24)
из которых не извлекаются целые корни, то
![$$ im f_{r_1} $$ $$ im f_{r_1} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20im%20f_%7Br_1%7D%20%24%24)
и
![$$ im f_{r_2} $$ $$ im f_{r_2} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20im%20f_%7Br_2%7D%20%24%24)
не пересекаются.
Поэтому построим счётное множество чисел из которых не извлекаюся целочисленные квадратные корни:
![$$ \{ r_1, r_2, ... \} $$ $$ \{ r_1, r_2, ... \} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5C%7B%20r_1%2C%20r_2%2C%20...%20%5C%7D%20%24%24)
и соответсвующие функции
![$$ \{ f_{r_1}, f_{r_2},... \} $$ $$ \{ f_{r_1}, f_{r_2},... \} $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5C%7B%20f_%7Br_1%7D%2C%20f_%7Br_2%7D%2C...%20%5C%7D%20%24%24)
строящие счётные непересекающиеся множества. Объединение всех этих множеств даст
![$$ Q' $$ $$ Q' $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20Q%26%2339%3B%20%24%24)
- некоторое подмножество действительных чисел
![$$ R $$ $$ R $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20R%20%24%24)
. Ho часть чисел остаётся, в частности трансцендентные числа. Трансцендентные числа образуют континуум (
я прав ? ), значит
![$$ Q \setminus Q' $$ $$ Q \setminus Q' $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20Q%20%5Csetminus%20Q%26%2339%3B%20%24%24)
- континуум.
Разбиение построено.
Разрывные функции
Добавлено: 24 янв 2008, 12:29
vladb314
Очень хорошо! Общими усилиями построена функция, график которой заполняет всю коорнитатную плосткость. Однако для этой функции существуют точки координатной плоскости, в окрестности которых имеется лишь счётное число точек графика функции.
Кто сможет придумать функцию, график которой настолько плотно заполняет координатную плоскость, что в любой окрестности любой точки координатной плоскости будет иметься континуум точек графика функции?
Разрывные функции
Добавлено: 24 янв 2008, 12:57
Draeden
Ну ты зверь! Я только передохнуть решил
Разрывные функции
Добавлено: 26 янв 2008, 13:27
Draeden
vladb314, я, неожиданно для себя, заметил, что мы отклонились от темы
Ведь мы обсуждаем доказательство того, что нельзя построить некоторые специфичные
функции описанные в #35. Я до сих пор его не понял