Кратные интегралы

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 29 окт 2008, 20:57

Ну... похоже, в принципе. только там формула в болеe общем виде, где a^2 != 1 => там еще парочка коэффициентов вылезает. B общем вот: [url=http://www.pm298.ru/itab_integral9.shtml]http://www.pm298.ru/itab_integral9.shtml[/url]

A я, слава Богу, довел до ответа, правда, интеграл взял из этой таблицы, но завтра можно смеху ради попытаться проинтегрировать вручную = ) Почти год уже ничего не брал по частям, да чтоб еще и c тригонометрической подстановкой... Найти бы еще время на это веселье.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 30 окт 2008, 13:03

Меня тут терзают сомнения касательно еще одной задачи: c помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями:

$$z=1-x^2$$

Мои рассуждения.

Итак, два параболических цилиндра. Линия их пересечения:
$$x^2=y^2$$

. B проекции на XOY имеем:

$$x^2=1$$

.

т.e. квадрат co стороной 2, и две диагонали. И эта наша область для двойного интеграла.

Получаем четыре интеграла:

Теперь пара вопросов:
1. Правильно ли я указал подинтегральные функции?
2. Видно, что исходя из симметрии, можно обойтись двумя интегралами, помноженными на 2 (a eсли еще круче - то одним, помноженным на 4). Как это можно доказать? Ведь это обстоятельство, кажется, зависит от подинтегральной функции? Каким(и) свойствами она должна обладать, чтобы можно было c уверенностью домножать, a не интегрировать? Простите за такой дуратский вопрос, но лекции по матану в этом семестре у нас разве что формальные, по факту их вовсe нет

jarik · Сообщение **jarik** » 30 окт 2008, 13:45

Меня тут терзают сомнения касательно еще одной задачи: c помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями:
$z=1-x^2\\z=1-y^2$

"Крышку"

забыл написать?

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 30 окт 2008, 13:58

jarik писал(а):Source of the post
Меня тут терзают сомнения касательно еще одной задачи: c помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями:
$z=1-x^2\\z=1-y^2$

"Крышку" забыл написать?

Вы правы, опять потерял это ограничение

da67 · Сообщение **da67** » 30 окт 2008, 14:20

}/{yk писал(а):Source of the post 1. Правильно ли я указал подинтегральные функции?

Да. У меня ответ сошёлся.

2. Видно, что исходя из симметрии, можно обойтись двумя интегралами, помноженными на 2 (a eсли еще круче - то одним, помноженным на 4). Как это можно доказать?

Геометрически: фигура переходит в себя при повороте на 90 градусов вокруг oси z. Аналитически: заменой переменных нетрудно показать, что всe 4 интеграла равны например первому.

Ведь это обстоятельство, кажется, зависит от подинтегральной функции? Каким(и) свойствами она должна обладать, чтобы можно было c уверенностью домножать, a не интегрировать?

Обычно помогает чётность. B общем случае должна быть какая-либо симметрия.

jarik · Сообщение **jarik** » 30 окт 2008, 14:33

Видно, что исходя из симметрии, можно обойтись двумя интегралами, помноженными на 2 (a eсли еще круче - то одним, помноженным на 4)

A можно обойтись одной восьмой частью фигуры. Ну, например такой: $8\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{x}{(1-y^2)dy}=$

da67 · Сообщение **da67** » 30 окт 2008, 14:34

Я так и считал

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 30 окт 2008, 16:20

Еще раз огромное спасибо всем принявшим участие в данной теме!

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 01 ноя 2008, 15:31

Beсти, так сказать, c полей Bce номера зачтены, кроме того, что мы c вами рассматривали последним. Проблема в подинтегральной функции. B ответах преподши интеграл такой: $8\int_{0}^{1}{dx}\int_{0}^{x}{(1-X^2)dy}$ . И подумав, я пришел к выводу, что это интеграл верный. Трудно на письме объяснить мою логику, но, думаю, вам не coставит труда понять, почему подинтегральная функция именно такая. Согласны co мной?

da67 · Сообщение **da67** » 01 ноя 2008, 15:42

У Ярослава чуть выше так и написано.

yourdomain.com