Интеграл

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 16 мар 2009, 07:51

da67 писал(а):Source of the post
Начинаем видимо c интеграла $\oint\frac{e^{iaz}-e^{ibz}}{z^2}dz$ по указанному контуру.

Ha большой полуокружности функция оценивается и интеграл стремится к нулю.

Если под контуром понимается полуокружность, то не ясно как вы оценили, я тоже пробовал по тождеству Эйлера расписывать, после замены получается предел:
$\lim_{p\to\infty}\frac{ e^{i a e^{i \phi } p}-e^{i b e^{i \phi } p}}{p}$
A это не берётся.

da67 · Сообщение **da67** » 16 мар 2009, 21:04

He надо его брать, достаточно оценить сверху.
$\|\int\frac{e^{iaz}-e^{ibz}}{z^2}dz\|<\int\|\frac{e^{iaz}-e^{ibz}}{z^2}\|dz<\frac{|e^{iaz}|+|e^{ibz}|}{R^2}\pi R=\frac{2\pi}{R}\to 0$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 16 мар 2009, 21:44

da67 писал(а):Source of the post
He надо его брать, достаточно оценить сверху.
$\int\|\frac{e^{iaz}-e^{ibz}}{z^2}\|dz<\frac{|e^{iaz}|+|e^{ibz}|}{R^2}\pi R$

A вот это как так получилось, каким образом вам удалось интеграл "утилизировать"?

da67 · Сообщение **da67** » 17 мар 2009, 06:22

Модуль суммы не больше суммы модулей.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 17 мар 2009, 09:35

da67 писал(а):Source of the post
Модуль суммы не больше суммы модулей.

A как это позволило избавиться от интеграла?
И вот ещё вопрос- Чему будет равен вычет в нуле у функции $\frac1{x^4}$ ? Ноль?

da67 · Сообщение **da67** » 17 мар 2009, 19:17

qwertylol писал(а):Source of the post
da67 писал(а):Source of the post Модуль суммы не больше суммы модулей.
A как это позволило избавиться от интеграла?

Интеграл не превышает произведения длины контура на максимум модуля функции на нём.

И вот ещё вопрос- Чему будет равен вычет в нуле у функции $\frac1{x^4}$ ? Ноль?

Ноль.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 17 мар 2009, 20:04

Тогда получается, что и у исходной функции интеграл по дуге будет нулевым. B нуле устранимая точка разрыва, поэтому вычет равен нулю. Что-то не то... У $\frac{e^{iaz}-e^{ibz}}{z^2}$ Вычет в нуле $$i(a-b)$$

da67 · Сообщение **da67** » 17 мар 2009, 20:18

qwertylol писал(а):Source of the post Тогда получается, что и у исходной функции интеграл по дуге будет нулевым.

Да.

B нуле устранимая точка разрыва, поэтому вычет равен нулю.

У кого?

У $\frac{e^{iaz}-e^{ibz}}{z^2}$ Вычет в нуле

И всё прекрасно сойдётся.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 17 мар 2009, 21:02

da67 писал(а):Source of the post
У кого?

У исходного интеграла $\frac{\cos(2ax)-\cos(2bx)}{x^2}$
$\lim_{x\to0}{\frac{\cos(2ax)-\cos(2bx)}{x^2}}=2(b^2-a^2)$

da67 · Сообщение **da67** » 17 мар 2009, 21:28

qwertylol писал(а):Source of the post
da67 писал(а):Source of the post У кого?
У исходного интеграла $\frac{\cos(2ax)-\cos(2bx)}{x^2}$

Про исходный давно забыли. У него нет нормального замыкания контура, соответственно его вычет никому не нужен.

yourdomain.com