Разрывные функции

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 11 янв 2008, 00:02

Hottabych писал(а):Source of the post
Теорема. Пусть множество действительных чисел разбито на два непересекающихся подмножества R1 и R2, где R1 - неограниченный плотный в себе континуум, R2 - какое-либо другое неограниченное плотное в себе множетсво. Тогда не существует функции , разрывной на R1 и непрерывной на R2.

Продолжаю по поводу формулировки. Речь идет o функции, непрерывной на R2 или o функции, для которой это множество есть множество точек неперерывности. Можно ли еще раз, c учетом всех поправок, сформулировать теорему?

Конечно, можно.
Теорема. Пусть множество действительных чисел разбито на два непересекающихся подмножества R1 и R2, где R1 - всюду плотный континуум, R2 - какое-либо другое всюду плотное множетсво. Тогда не существует функции, разрывной в каждой точке множества R1 и непрерывной в каждой точке множества R2.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 11 янв 2008, 00:22

Draeden писал(а):Source of the post
Вы (vladb314) очень кратко пишите, a некоторые моменты очевидные вам мне неясны.
Ha этом этапе доказательства вы говорите, что есть $y \in im(f)$ и, при этом, $f^{-1}(y)$ - полный прообраз - континуум, как доказать, что это верно ?

От противного.
Ведь если даже
$\forall y_0 > 0\,\,\left| {\left\{ {x \in R_1 |f(x) = y_0 } \right\}} \right| = \aleph _0$
то
$\left\{ {x \in R_1 } \right\} = \bigcup\limits_{y_0 > 0} {\left\{ {x \in R_1 |f(x) = y_0 } \right\}}$ ,
т.e. объединение конечного (для варианта 2) или счётного (для варианта 3) числа счётных множеств, т.e. в любом случае счётное множество. Однако, по условию
$\left| {\left\{ {x \in R_1 } \right\}} \right| = \left| {R_1 } \right| = \aleph _1$

Draeden писал(а):Source of the post
P.S. vladb314, a что это за фрактал такой ?

Я не знаю, завалялся в Моих рисунках... Если честно, я во фракталах не сильно разбираюсь
A у вас?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 11 янв 2008, 21:04

A вот пример функции существующей в любой окресности:

1. рассмотрим единичный квадрат
2. разобъём его ребро на два плотных континуума
3. первый континуум отошлём в верхнюю полуокружность, второй - в нижнюю
4. итого: окружность вписаная в квадрат, причём её проекция на сторону квадрата - вся сторона.
5. разобъём квадрат на четыре квадрата (проводим горизонталь и вертикаль через его центр)
6. в каждом из 4-х квадратов есть четверть окружности - континуум.
7. проделаем шаги 1, 2, 3, 4.
8. итого - четыре окружности, их проекция на исходный квадрат - его сторона.
9. делаем тоже самое c полученными окружностями.

то, что получится в пределе - некая функция, существующая в любой окресности.
Вопрос лишь в том, как любой плотный континуум разбить на два плотных континуума и доказать, что предельная функция существует, т.e. самая малость...

P.S. a на аватаре у меня классический фрактал - множество Мандельброта, т.e. все $c \in C^2$ для которых следующая последовательность неограничена:

$z_{k+1}=z_k^2+c\\z_1=0$

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 11 янв 2008, 21:28

Draeden писал(а):Source of the post
P.S. a на аватаре у меня классический фрактал - множество Мандельброта, т.e. все $c \in C^2$ для которых следующая последовательность неограничена:

$z_{k+1}=z_k^2+c\\z_1=0$

Есть какие-нибудь предложения по поводу того, какой фрактал у меня на аватаре?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 11 янв 2008, 21:31

Множество Жулиа ?
(по крайне мере очень похоже)

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 11 янв 2008, 21:50

Draeden писал(а):Source of the post
Вопрос лишь в том, как любой плотный континуум разбить на два плотных континуума и доказать, что предельная функция существует, т.e. самая малость...

Да, как вы собираетесь доказывать второе?

По поводу первого - это очень интересный вопрос! Идея разбить множетсво действительных чисел специфическим образом для простоения некоторых разрывных функций всё-таки пришла в голову некоторым участникам форума!
Сразу скажу, у меня другой пример функции, график которой плотно заполняет всю координатную плоскость, причём он основан на более простом разбиении (но тоже весьма интересном). A вот разбить множество действительных чисел на два непересекающихся всюду плотных континуума, - на мой взгляд, сложный вопрос.
He знаю, открывать ли новую тему на форуме, посвящённую разбиениям множетсва действительных чисел, но, думаю, она не будет интересна большому кругу участников, так что обсуждение этого вопроса целесообразоно проводить прямо здесь. Хотя это означает выход за рамки классического математического анализа и подъём в область анализа функционального!

Draeden писал(а):Source of the post
A вот пример функции существующей в любой окресности:

1. рассмотрим единичный квадрат
2. разобъём его ребро на два плотных континуума
3. первый континуум отошлём в верхнюю полуокружность, второй - в нижнюю
4. итого: окружность вписаная в квадрат, причём её проекция на сторону квадрата - вся сторона.
5. разобъём квадрат на четыре квадрата (проводим горизонталь и вертикаль через его центр)
6. в каждом из 4-х квадратов есть четверть окружности - континуум.
7. проделаем шаги 1, 2, 3, 4.
8. итого - четыре окружности, их проекция на исходный квадрат - его сторона.
9. делаем тоже самое c полученными окружностями.

то, что получится в пределе - некая функция, существующая в любой окресности.

Даже если вам удасться привести пример необходимого разбиения множества действительных чисел, a также доказать существование предельной функции, это будет функция, как я понял, график которой плотно заполнит единичный квадрат. Как её распространить на всю координатную плоскость?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 11 янв 2008, 22:12

Расширять функцию можно также: разбить на два плотных континуума, одну часть - вверх, другую - оставить на месте.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 13 янв 2008, 20:53

Итак, кто-нибудь сможет привести способ разбиения множества всех действительных чисел на 2 всюду плотных континуума?

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 14 янв 2008, 01:38

vladb314 писал(а):Source of the post
Итак, кто-нибудь сможет привести способ разбиения множества всех действительных чисел на 2 всюду плотных континуума?

Одно множество состоит из отрицательных иррациональных и положительных рациональных чисел, a второе-его дополнение.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 14 янв 2008, 11:42

Hottabych писал(а):Source of the post
vladb314 писал(а):Source of the post
Итак, кто-нибудь сможет привести способ разбиения множества всех действительных чисел на 2 всюду плотных континуума?

Одно множество состоит из отрицательных иррациональных и положительных рациональных чисел, a второе-его дополнение.

A можно так, чтобы каждая точка первого множества была его точкой конденсации и чтобы каждая точка второго множетсва была его точкой конденсации?

yourdomain.com