Draeden писал(а):Source of the post Непонятен такой момент в 5.: в этом пункте вы хотите сказать что положительных значений функций бесконено много ? Это было бы странно, т.к. функция Дирихле разрывна везде, но ей достаточно всего двух точек: 0 и 1
Итак, похоже, споры по первым шагам теоремы несколько поутихли. Вернёмся к шагу 5.
Пусть, напротив, утверждение на 5 шаге неверно. Тогда возможен один и только один из 3 вариантов:
1) имеется пустое множество положительных значений функции;
2) имеется конечное множество положительных значений функции;
3) имеется счётное множетсво положительных значений функции.
Первый вариант, очевидно, не имеет места.
Ход рассуждения от вариантов 2 и 3, в принципе, повторяет ход рассуждения после 5-го шага доказательства теоремы.
Пусть имеет место второй вариант. Тогда существует такое значение y0 > 0, при котором
![$$\left| {\left\{ {x \in R_1|f(x) = y_0 } \right\}} \right| = \aleph _1 $$ $$\left| {\left\{ {x \in R_1|f(x) = y_0 } \right\}} \right| = \aleph _1 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cleft%7C%20%7B%5Cleft%5C%7B%20%7Bx%20%5Cin%20R_1%7Cf%28x%29%20%3D%20y_0%20%7D%20%5Cright%5C%7D%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%5Caleph%20_1%20%24%24)
Отсюда следует, что имеется точка конденсации x0 значений x, при которых f(x) = y0.
Следовательно, в
![$$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$ $$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_0%20%20-%20%5Cdelta%20%2Cx_0%20%20%2B%20%5Cdelta%20%29%24%24)
содержится континуум значений x, при которых f(x) = y0.
B силу плотности всюду как множества R1, так и множества R2, в любой близости к точкам множетсва R2, принадлежащим
![$$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$ $$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_0%20%20-%20%5Cdelta%20%2Cx_0%20%20%2B%20%5Cdelta%20%29%24%24)
, значения функции равны только y0. Имеем в этих точках разрыв второго рода.
Ho так как она в этих точках непрерывна, этот вариант не имеет места.
Пусть имеет место третий вариант. Тогда (точно так же, как и во втором варианте, значений аргументов - континуум) существует такое значение y0 > 0, при котором
![$$\left| {\left\{ {x \in R_1|f(x) = y_0 } \right\}} \right| = \aleph _1 $$ $$\left| {\left\{ {x \in R_1|f(x) = y_0 } \right\}} \right| = \aleph _1 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cleft%7C%20%7B%5Cleft%5C%7B%20%7Bx%20%5Cin%20R_1%7Cf%28x%29%20%3D%20y_0%20%7D%20%5Cright%5C%7D%7D%20%5Cright%7C%20%3D%20%5Caleph%20_1%20%24%24)
Отсюда следует, что имеется точка конденсации x0 значений x, при которых f(x) = y0.
Следовательно, в
![$$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$ $$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_0%20%20-%20%5Cdelta%20%2Cx_0%20%20%2B%20%5Cdelta%20%29%24%24)
содержится континуум значений x, при которых f(x) = y0.
B силу плотности всюду как множества R1, так и множества R2, в любой близости к точкам множетсва R2, принадлежащим
![$$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$ $$(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_0%20%20-%20%5Cdelta%20%2Cx_0%20%20%2B%20%5Cdelta%20%29%24%24)
, значения функции равны только y0. Имеем в этих точках разрыв второго рода.
Ho так как она в этих точках непрерывна, и этот вариант не имеет места.