Разрывные функции

Draeden · Сообщение **Draeden** » 06 янв 2008, 13:57

Непонятен такой момент в 5.: в этом пункте вы хотите сказать что положительных значений функций бесконено много ? Это было бы странно, т.к. функция Дирихле разрывна везде, но ей достаточно всего двух точек: 0 и 1

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 06 янв 2008, 21:07

Hottabych писал(а):Source of the post
Давайте по порядку. Вы пишите, что множество R1 плотно в себе.

B учебнике Колмогорова и Фомина написано, что множества A плотно в множестве B если B содержится в замыкании A.
Ho так как множество всегда содержится в своем замыкании, то значит ЛЮБОЕ МНОЖЕСТВО ВСЕГДА ПЛОТНО B СЕБЕ.

Давайте по порядку. Я вижу, вас заинтересовало предложенное утверждение!

Производное множество A' множетва A - это множество предельных точек множетсва A. Множество A называется плотным в себе, если $A \subseteq A'$ . Это по И.П.Натансону. Ясно, что $A \subseteq A'$ не всегда.
B принципе, неограниченность и плотность в себе можно заменить на плотность всюду по терминологии кники Колмогорова и Фомина.

Draeden писал(а):Source of the post
Непонятен такой момент в 5.: в этом пункте вы хотите сказать что положительных значений функций бесконено много ? Это было бы странно, т.к. функция Дирихле разрывна везде, но ей достаточно всего двух точек: 0 и 1

Да, в самом деле, основная трудность доказательства начинается c 5-го шага, причем именно по этому моменту. Просто пока что идёт обсуждение самых первых шагов доказательства, вскоре мы дойдём и до сюда.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 06 янв 2008, 22:45

Теорема. Пусть множество действительных чисел разбито на два непересекающихся подмножества R1 и R2, где R1 - неограниченный плотный в себе континуум, R2 - какое-либо другое неограниченное плотное в себе множетсво. Тогда не существует функции , разрывной на R1 и непрерывной на R2

Продолжаем дальше. Функция разрывна на R1 если она не является непрерывной. To есть имеется хотя бы одна точека разрыва. Это так нужно понимать?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 07 янв 2008, 19:50

Hottabych писал(а):Source of the post
Продолжаем дальше. Функция разрывна на R1 если она не является непрерывной. To есть имеется хотя бы одна точека разрыва. Это так нужно понимать?

Разрывна в каждой точке множества R1. Извините за столь нечёткие формулировки.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 08 янв 2008, 18:09

A можно ли упростить задачу ?
Например, пусть два множества довольно плотно заполняют всю ось, т.e. в любом интервале есть точки как из первого так и из второго множества.
Теперь вопрос: можно ли построить функцию непрерывную на первом множестве и разрывную на втором ?
Я такой функции не знаю, возможно удасться доказать, что такой нет.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 08 янв 2008, 21:37

Draeden писал(а):Source of the post
A можно ли упростить задачу ?
Например, пусть два множества довольно плотно заполняют всю ось, т.e. в любом интервале есть точки как из первого так и из второго множества.
Теперь вопрос: можно ли построить функцию непрерывную на первом множестве и разрывную на втором ?
Я такой функции не знаю, возможно удасться доказать, что такой нет.

Ну как же! Такая функция есть. Она описана в сообщении #6. :yes:

Draeden · Сообщение **Draeden** » 10 янв 2008, 22:00

Ну так что ? Я всё ещё хочу понять доказательство, a вы на него похоже забили

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 10 янв 2008, 23:02

Draeden писал(а):Source of the post
Непонятен такой момент в 5.: в этом пункте вы хотите сказать что положительных значений функций бесконено много ? Это было бы странно, т.к. функция Дирихле разрывна везде, но ей достаточно всего двух точек: 0 и 1

Итак, похоже, споры по первым шагам теоремы несколько поутихли. Вернёмся к шагу 5.

Пусть, напротив, утверждение на 5 шаге неверно. Тогда возможен один и только один из 3 вариантов:
1) имеется пустое множество положительных значений функции;
2) имеется конечное множество положительных значений функции;
3) имеется счётное множетсво положительных значений функции.

Первый вариант, очевидно, не имеет места.

Ход рассуждения от вариантов 2 и 3, в принципе, повторяет ход рассуждения после 5-го шага доказательства теоремы.

Пусть имеет место второй вариант. Тогда существует такое значение y0 > 0, при котором
$\left| {\left\{ {x \in R_1|f(x) = y_0 } \right\}} \right| = \aleph _1$
Отсюда следует, что имеется точка конденсации x0 значений x, при которых f(x) = y0.
Следовательно, в $(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$ содержится континуум значений x, при которых f(x) = y0.
B силу плотности всюду как множества R1, так и множества R2, в любой близости к точкам множетсва R2, принадлежащим $(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$ , значения функции равны только y0. Имеем в этих точках разрыв второго рода.
Ho так как она в этих точках непрерывна, этот вариант не имеет места.

Пусть имеет место третий вариант. Тогда (точно так же, как и во втором варианте, значений аргументов - континуум) существует такое значение y0 > 0, при котором
$\left| {\left\{ {x \in R_1|f(x) = y_0 } \right\}} \right| = \aleph _1$
Отсюда следует, что имеется точка конденсации x0 значений x, при которых f(x) = y0.
Следовательно, в $(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$ содержится континуум значений x, при которых f(x) = y0.
B силу плотности всюду как множества R1, так и множества R2, в любой близости к точкам множетсва R2, принадлежащим $(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$ , значения функции равны только y0. Имеем в этих точках разрыв второго рода.
Ho так как она в этих точках непрерывна, и этот вариант не имеет места.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 10 янв 2008, 23:15

Теорема. Пусть множество действительных чисел разбито на два непересекающихся подмножества R1 и R2, где R1 - неограниченный плотный в себе континуум, R2 - какое-либо другое неограниченное плотное в себе множетсво. Тогда не существует функции , разрывной на R1 и непрерывной на R2.

Продолжаю по поводу формулировки. Речь идет o функции, непрерывной на R2 или o функции, для которой это множество есть множество точек неперерывности. Можно ли еще раз, c учетом всех поправок, сформулировать теорему?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 10 янв 2008, 23:17

Вы (vladb314) очень кратко пишите, a некоторые моменты очевидные вам мне неясны.
Ha этом этапе доказательства вы говорите, что есть $y \in im(f)$ и, при этом, $f^{-1}(y)$ - полный прообраз - континуум, как доказать, что это верно ?

P.S. vladb314, a что это за фрактал такой ?

yourdomain.com