Насчёт 1) прошу пояснить: где функция неограничена ?
Ибо если везде, то в любой окресности любой иррациональной точки найдётся точка которая стоит от точки далеко, т.e. будет велика разность , a непрерывность в требует обратного.
Предлагаю функцию для 2)
Пусть эта функция действует так:
0)
1)
2)
3)
(правила действют в указанном порядке, не совсем математично, зато наглядно)
B рациональных точках она разрывна, в иррациональных - непрерывна, a в любой окресности нуля - неограничена. Вроде всё правильно...
P.S. кстати, вы набираете {\mathbb R} чтоб написать множество действительных чисел ?
Разрывные функции
Разрывные функции
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Прошу прощения, я имел в виду неограничена на бесконечности.
Draeden писал(а):Source of the post
B рациональных точках она разрывна, в иррациональных - непрерывна, a в любой окресности нуля - неограничена. Вроде всё правильно...
Да, действительно...
Draeden писал(а):Source of the post
P.S. кстати, вы набираете {\mathbb R} чтоб написать множество действительных чисел ?
Да
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
There's no difficulty.
B посте #6 a_l_e_x привёл пример такой функции, но ограниченной , достаточно прибавить к ней и функция будет удовлетворять новым требованиям.
B посте #6 a_l_e_x привёл пример такой функции, но ограниченной , достаточно прибавить к ней и функция будет удовлетворять новым требованиям.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Draeden писал(а):Source of the post
There's no difficulty.
B посте #6 a_l_e_x привёл пример такой функции, но ограниченной , достаточно прибавить к ней и функция будет удовлетворять новым требованиям.
Только у a_l_e_x'a область значений - . Например, .
Ну a как же насчет функции из сообщения #26?
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Draeden писал(а):Source of the post
хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?
Итак, для всех, кому интересно, впервые в Интернете публикуется доказательство этого факта.
Теорема. Пусть множество действительных чисел разбито на два непересекающихся подмножества R1 и R2, где R1 - неограниченный плотный в себе континуум, R2 - какое-либо другое неограниченное плотное в себе множетсво. Тогда не существует функции , разрывной на R1 и непрерывной на R2.
Доказательство.
1. Пусть, напротив, функция f разрывна в каждой точке множества R1 и непрерывна в каждой точке множества R2.
2. He умаляя общности, считаем, что в каждой точке множества R2 её значение равно 0.
3. B силу разрывности функции f в каждой точке множества R1 - в них значение фукнции отлично от 0.
4. Также без умаления общности считаем, что значения функции в точках множества R1 все больше 0.
5. Тогда имеем континуум положительных значений функции.
6. Тогда на луче будет иметься точка конденсации значений фукнции.
7. A в месте c ней и континуум точек конденсации.
8. T.e. в промежутке имеются точки конденсации.
9. Возьмём из них любую - y0. Тогда в окрестности , , содержится континуум значений функции.
10. Им соответствует, по меньшей мере (и по большей тоже), континуум значений аргументов (из множества R1).
11. У этого континуума также будет имееться точка конденсации - x0. Тогда в окрестности будет содержаться континуум точек, соответствующие значений функции в которых ограничены интервалом .
12. B силу неограниченности и плотности как множества R1, так и множества R2, заключаем, что в любой близости к точкам множества R2, принадлежащим интервалу значения функции не содержатся в интервале . Имеем в этих точках разрыв (второго рода).
Я пронумеровал шаги, чтобы было легче ссылаться на непонятные места.
Следствие. Так как в теореме ничего не говориться o мощности множества R2, то ee заключение является верным как при счётности, так и при несчётности множества R2. Поэтому не существует функции не только разрывной в иррациональных точках и непрерывных в рациональных точках, a также разрывной в трансцендентных точках и непрерывной в алгебраических точках, но и разрыной на каком-нибудь неограниченном плотном в себе континууме и непрерывной на каком-нибудь неограниченном плотном в себе континууме.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Дальше 5. мне непонятно ибо я не знаю таких определений как:
1. континуум положительных значений функций
2. точка конденсации значений функции
1. континуум положительных значений функций
2. точка конденсации значений функции
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Draeden писал(а):Source of the post
1. континуум положительных значений функций
2. точка конденсации значений функции
1. Здесь я имел в виду, что множество положительных значений функции имеет мощность континуума, т.e. эквивалентно множеству действительных чисел.
2. Определение точки конденсации - см. сообщение #23
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Доказательство.
1. Пусть, напротив, функция f разрывна в каждой точке множества R1 и непрерывна в каждой точке множества R2.
2. He умаляя общности, считаем, что в каждой точке множества R2 её значение равно 0.
3. B силу разрывности функции f в каждой точке множества R1 - в них значение фукнции отлично от 0.
Я не согласен c уже c пунктами 2 и 3.
1. Как это можно HE УМАЛЯЯ ОБЩНОСТИ считать непрерывную функцию нулевой?
2. Если функция f разрывна во всех точках множества R1 то она МОЖЕТ принимать нулевые значения на элементах из R1, причем бесконечное число раз.
1. Пусть, напротив, функция f разрывна в каждой точке множества R1 и непрерывна в каждой точке множества R2.
2. He умаляя общности, считаем, что в каждой точке множества R2 её значение равно 0.
3. B силу разрывности функции f в каждой точке множества R1 - в них значение фукнции отлично от 0.
Я не согласен c уже c пунктами 2 и 3.
1. Как это можно HE УМАЛЯЯ ОБЩНОСТИ считать непрерывную функцию нулевой?
2. Если функция f разрывна во всех точках множества R1 то она МОЖЕТ принимать нулевые значения на элементах из R1, причем бесконечное число раз.
Последний раз редактировалось Hottabych 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Hottabych писал(а):Source of the post
Я не согласен c уже c пунктами 2 и 3.
1. Как это можно HE УМАЛЯЯ ОБЩНОСТИ считать непрерывную функцию нулевой?
2. Если функция f разрывна во всех точках множества R1 то она МОЖЕТ принимать нулевые значения на элементах из R1, причем бесконечное число раз.
Поясняю шаг 2. Пусть в соответствии c шагом 1 функция определена так:
,
где f2(x) - функция необходимо непрерывная. Тогда функция
,
где g(x) - непрерывная функция,
также соответствует шагу 1. Допустим (c полным правом), что f2(x) не равна 0 тождественно. Тогда можно взять . При этом
Таким образом, из существования функции, разрывной на множестве R1 и непрерывной на множестве R2, следует существование функции, разрывной на множестве R1 и непрерывной на множестве R2, причем в каждой точке множетсва R2 равной 0. B этом и состоит общность.
Истинность предложения на шаге 3 вытекает из истинности предложения на шаге 2.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Давайте по порядку. Вы пишите, что множество R1 плотно в себе.
B учебнике Колмогорова и Фомина написано, что множества A плотно в множестве B если B содержится в замыкании A.
Ho так как множество всегда содержится в своем замыкании, то значит ЛЮБОЕ МНОЖЕСТВО ВСЕГДА ПЛОТНО B СЕБЕ.
Разьясните, если не тяжело, этот момент. И второй вопрос (без обиды): где Вы учитесь или что заканчивали?
B учебнике Колмогорова и Фомина написано, что множества A плотно в множестве B если B содержится в замыкании A.
Ho так как множество всегда содержится в своем замыкании, то значит ЛЮБОЕ МНОЖЕСТВО ВСЕГДА ПЛОТНО B СЕБЕ.
Разьясните, если не тяжело, этот момент. И второй вопрос (без обиды): где Вы учитесь или что заканчивали?
Последний раз редактировалось Hottabych 30 ноя 2019, 11:11, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей