Пределы

Ian · Сообщение **Ian** » 25 дек 2011, 09:16

myn писал(а):Source of the post
$\displaystyle \lim \limits_{x \to 1} {\frac {e^x-e} {cos(\pi x)+1}}=e\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t-1} {cos(\pi(t+1))+1}}=e\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t} {-sin(\pi(t+1))\cdot \pi}}=-\frac {e} {\pi}\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t} {\frac {sin(\pi(t+1))} {\pi(t+1)}\pi(t+1)}}=-\frac {e} {\pi^2}\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t} {t+1} =-\frac {e} {\pi^2}$

что не так?

То чтj

не стремится к 0 и второе с конца равенство не работает

myn · Сообщение **myn** » 25 дек 2011, 09:29

черт, точно...

и что же писать в ответе - не существует?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 25 дек 2011, 09:32

myn писал(а):Source of the post
никто не сможет ответить - это неправильно?

нет, не правильно.

Замечательный предел оказывается не таким уж замечательным

myn писал(а):Source of the post
и что же писать в ответе - не существует?

Конечно.

СергейП

myn писал(а):Source of the post
myn писал(а):Source of the post $\displaystyle \lim \limits_{x \to 1} {\frac {e^x-e} {cos(\pi x)+1}}=e\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t-1} {cos(\pi(t+1))+1}}=e\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t} {-sin(\pi(t+1))\cdot \pi}}=-\frac {e} {\pi}\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t} {\frac {sin(\pi(t+1))} {\pi(t+1)}\pi(t+1)}}=-\frac {e} {\pi^2}\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e^t} {t+1} =-\frac {e} {\pi^2}$

что не так?
никто не сможет ответить - это неправильно?

Я выкладки не совсем понял, но они неверны, это легко проверить по Лопиталю - после первого применения сверху 1, а снизу 0.
А без Лопиталя, я бы делал так
$$x=t+1$$

, при $x \to 1$ , $t \to 0$ ,
$e^x-e=e^{1+t}-e=e(e^t-1)$ , что, между прочим, б.м. эквивалентная $$et$$

$cos(\pi x)+1=1-\cos(\pi t)=2 \sin^2 \frac {\pi t}{2}$ , а это б.м. эквивалентная $\pi^2 t^2/2$

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 1} {\frac {e^x-e} {cos(\pi x)+1}}=\lim \limits_{t \to 0} {\frac {e(e^t-1)} {2 \sin^2 \frac {\pi t}{2}}= \lim \limits_{t \to 0} \frac {et} {\pi^2 t^2/2}= \lim \limits_{t \to 0} \frac{2e} {\pi^2 t}= \infty$

myn · Сообщение **myn** » 25 дек 2011, 12:26

Спасибо большое!С этим разобрались.. и главное многое вспомнила

а вот как бороться с такими пределами:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(4-3cos3x\right)^{\frac {arcsin2x} {xtg(3x^2)}}}$

вроде как напрашиваются эквивалентности, но они же применяются только при отношении функций... т.е. в степени бы можно было применить.. но чего-то ничего хорошего не выходит...

Ian · Сообщение **Ian** » 25 дек 2011, 12:42

myn писал(а):Source of the post $\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(4-3cos3x\right)^{\frac {arcsin2x} {xtg(3x^2)}}}$

Рассмотреть предел логарифма данной функции

СергейП

myn писал(а):Source of the post а вот как бороться с такими пределами:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(4-3cos3x\right)^{\frac {arcsin2x} {xtg(3x^2)}}}$

вроде как напрашиваются эквивалентности, но они же применяются только при отношении функций... т.е. в степени бы можно было применить.. но чего-то ничего хорошего не выходит...

Можно, конечно, и прологарифмировать, но через эквивалентности и 2-ой зам. предел попроще будет

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {\left(4-3 \cos 3x\right)^{\frac {\arcsin 2x} {x \tg(3x^2)}}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+3(1-\cos 3x\right)^{\frac {\arcsin 2x} {x\tg(3x^2)}}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+6\sin^2 \frac {3x}{2} \right)^{\frac {\arcsin 2x} {x\tg(3x^2)}}}=$
Вот теперь применяем эквивалентные б.м.
$\displaystyle =\lim \limits_{x \to 0} {\left(1+\frac {27 x^2}{2} \right)^{\frac {2x} {3x^3}}}=\lim \limits_{x \to 0} {\left( {\left(1+\frac {27 x^2}{2} \right)^{\frac {2} {27x^2}}}\right)^9=e^9$

myn · Сообщение **myn** » 25 дек 2011, 13:52

ух ты! здорово! Спасибо огромное!
Свой любимый замечательный предел и не углЯдела

yourdomain.com

Пределы

Пределы

Пределы

Пределы

Пределы

Пределы

Пределы

Пределы

Пределы

Кто сейчас на форуме