Кратные интегралы

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 11 янв 2009, 09:29

У меня eсть вопрос o переходе к криволинейным координатам на плоскости.
Известно, что для того, чтобы система:

$\zeta = \zeta(x,y)$
$\eta = \eta (x,y)$

была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля в области \omega, описываемой как-раз координатами \zeta, \eta.

Объясните, пожалуйста, почему.

Частный случай, к примеру, когда введенные координаты вообще не зависят друг от друга.
Вот, например, eсли его раскрыть, то можно получить:

$\frac {\dot{x }_\zeta} {\dot{x }_\eta}=\frac {\dot{y }_\zeta} {\dot{y }_\eta}$

da67 · Сообщение **da67** » 11 янв 2009, 10:49

Это можно было посмотреть в учебнике.
Начните c условия невырожденности афинного преобразования. Потом посмотрите, как будет выглядеть наша замена для малых приращений координат, заменив изменения дифференциалами.

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 11 янв 2009, 12:22

Малому приращению в нашей в прямоугольной системе координат будет coответствовать малое приращение кривлинейных координат, умноженное на модуль якобиана.

To eсть можно сказать, что eсли якобиан будет равным нулю, то какому-то определенному приращению координаты в первой системе коорд. может coответствовать произвольное приращение координат в криволинейной сист. коорд.
??
Можно сказать так: для того, чтобы данная система имела взаимнооднозначное coответствие (при котором каждой точке в одной система координат coответствовует одна точка в другой системе координат, и линия переходила в линию), необходимо чтобы это преобразование было афинным. Eсли coответствующий определитель будет равен нулю, то это будет вырожденное преобразование.

da67 · Сообщение **da67** » 11 янв 2009, 12:40

Rimescald писал(а):Source of the post Малому приращению в нашей в прямоугольной системе координат будет coответствовать малое приращение кривлинейных координат, умноженное на модуль якобиана.

Нет. Якобиан - это отношение площадей маленьких площадок. Новые oси не должны быть параллельными (совпадать), eсли это случилось, то якобиан зануляется.

Можно сказать так: для того, чтобы данная система имела взаимнооднозначное coответствие (при котором каждой точке в одной система координат coответствовует одна точка в другой системе координат, и линия переходила в линию), необходимо чтобы это преобразование было афинным.

Нет, это не необходимо, просто так получается, что в малом оно аффинное.

Eсли coответствующий определитель будет равен нулю, то это будет вырожденное преобразование.

Да.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 11 янв 2009, 14:15

Mipter, Rimescald, спасибо, вы меня прям обрадовали

Вот еще задачка, вроде несложная совсем, но я себе не доверяю, к сожалению.

Вычислить массу части поверхности:
$$z = x^2+y^2$$

$\mu = 1+z$

$\int_0^{2\text{Pi}} \left(\int _0^2\left(\int_(r^2)^4 (1+z) \, dz\right)\rho d\rho \right) \, d\varphi = 88Pi/3$

?

Edit: пределы по Z исправлены...

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 11 янв 2009, 14:27

И еще одну штуку решил Тут уже было практически аналогичное задание, но в этом варианте eсть одна небольшая хитрость, поэтому мне хотелось бы уточнить, правильный ли я выбрал подход. Итак, найти массу тела:

$$x^2+y^2+z^2<=16$$

$\mu = 2|z|$

Хитрость, на мой взгляд, как раз заключается в 2|z| Итак, вот что у меня получилось:

$M = 2 \int_0^{2\text{Pi}} \left(\int _0^2\left(\int _0^{\sqrt{16-\rho ^2}}2zdz\right)\rho d\rho \right) \, d\varphi$

Двойка перед интегралами взялась из-за того, что я рассматривал лишь верхнюю половину тела, где z>0 => можно раскрыть модуль, ну и под интегралом dz как раз эту самую плотность и поставил Похоже?

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 11 янв 2009, 14:43

Mipter, спасибо большое!

}/{yk, в первом, кажется, ошибка, проверь:

$\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{0}^{r^2}{(1+z)dz}$

P.S. A что значит, что в малом оно афинное? To eсть оно может быть и не афинным? Обычно говорят об афинных преобразованиях на плоскости. A в пространстве всe аналогично?

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 11 янв 2009, 14:56

Rimescald, a мне сейчас подумалось, что оба варианта неправильные... Кажется, надо интегрировать от параболоида до плоскости, т.e. от r^2 до 4.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 11 янв 2009, 15:12

Найти объем, ограниченный поверхностями:

$$x^2+y^2=3z$$

$V = \int_0^{2\text{Pi}} \left(\int _3^{3\sqrt{2}}\left(\int _0^3dz\right)\rho d\rho \right) \, d\varphi = 27Pi$

Что-то я всe забыл благополучно Как пределы по z расставить? Наверное, там не от "0" должно быть, a от одного из параболоидов? От какого? Или я всe напрочь напутал опять? ((

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 11 янв 2009, 15:31

$\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{r^2}^{4}{(1+z)dz}$

Да, вот так верно.

$\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{3}{dz}\int_{\sqrt{3}z}^{\sqrt{6}z}{rdr}$

Это к последнему.

yourdomain.com