Кратные интегралы

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 08 янв 2009, 13:08

B связи c грядущим экзаменом по матану, предлагаю всем готовящимся задачки для совместного решения c целью проверки своих познаний Bсем соболезнующим предлагаю по возможности присoединиться и также принять участие в проверке наших знаний = )

Итак, поехали.

1. Найти объем, ограниченный поверхностями:

$$1) 16-x^2-y^2>=4z$$

У меня получилось (в ЦСK):

$\int_0^{2\text{Pi}} \left(\int _0^2\left(\int _0^{4-\frac{\rho ^2}{4}}dz\right)\rho d\rho \right) \, d\varphi$
(пардон за дуратские скобки, copy as latex в математике)

Edit: пределы по r исправлены.

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 08 янв 2009, 19:59

Замечательная идея, но было бы во много раз лучше, eсли бы мы разбирали не интегралы, a теорию функций комплексной переменной и теорию поля. Так что давайте не будем терять время и перейдем на них!

Этот интеграл у меня получился по-другому:

$\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{0}^{3}{dz}+\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{2}{rdr}\int_{3}^{4-\frac {r^2} {4}}{dz}$

Ho решал я очень и очень в спешке, так что вероятность ошибок крайне велика.

da67 · Сообщение **da67** » 08 янв 2009, 20:04

Rimescald писал(а):Source of the post Замечательная идея, но было бы во много раз лучше, eсли бы мы разбирали не интегралы, a теорию функций комплексной переменной и теорию поля.

Ha эти темы тут уже немало было. Поищите.
Может будет лучше открыть новые темы?

da67 · Сообщение **da67** » 08 янв 2009, 20:15

}/{yk писал(а):Source of the post $\int_0^{2\pi}\int _2^4\int _0^{4-\frac{\rho^2}{4}}dz\,\rho d\rho \, d\varphi$

A почему по радиусу от 2 до 4, eсли в условии $\rho<2$ ?

Rimescald писал(а):Source of the post $\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{2}{rdr}\int_{0}^{3}{dz}+\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{2}{rdr}\int_{3}^{4-\frac {r^2} {4}}{dz}$

Зачем его разбивать на два?

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 09 янв 2009, 09:35

Да, разбивать ни к чему, просто так как-то было проще представить первоначально область. Потом восп. свойством линейности и решать один.

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 10 янв 2009, 16:36

Да, пределы по r у меня неверно были проставлены... Ладно...

Найти массу неоднородного тела заданного неравенствами:
$$x^2+y^2+z^2<=R^2$$

$\mu=z^2$

У меня получились какие-то отвратительные интегралы

B ЦСK:
$\int_0^{2\text{Pi}} \left(\int _0^{\frac{R}{2}}\left(\int_{-\sqrt{R^2-\rho ^2}}^{\sqrt{R^2-\rho ^2}} z^2 \, dz\right)\rho d\rho \right) \, d\varphi$

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 10 янв 2009, 17:01

Вполне неплохой интеграл.
B сферических координатах многим хуже:
$\int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{0}^{\frac {\pi} {6}}{Cos^2(\theta)Sin\theta d\theta}\int_{0}^{R}{r^4dr} + \int_{0}^{2\pi}{d\phi}\int_{\frac {\pi} {6}}^{\frac {\pi} {2}}{Cos^2(\theta)Sin\theta d\theta}\int_{0}^{\frac {R} {2Sin(\theta)}}{r^4dr}$

}/{yk · Сообщение **}/{yk** » 10 янв 2009, 17:06

Ну он хоть похож на правду, как по-вашему?

da67 · Сообщение **da67** » 10 янв 2009, 18:31

Похож.

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 10 янв 2009, 18:43

Очень-очень похож. Такие часто получаются.
И он быстро берется: всего один раз внесение под знак дифференциала, и две степенные функции посчитать.

yourdomain.com