Сходимость интеграла

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 06 июн 2011, 05:06

Вы подстановку в знаменателе неверно сделали.

Пример: проверить сходимость $\int\limits_0^1 \frac{\cos t}{\sqrt{t}} dt$ .
При $t \in (0; \varepsilon), \cos t \leq 1$ , значит $\frac{\cos t}{\sqrt{t}} \leq \frac{1}{\sqrt{t}}$ и значит
$\int\limits_0^{\varepsilon} \frac{\cos t}{\sqrt{t}} dt \leq C \int\limits_0^{\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{t}} dt = 2C \sqrt{t} |\limits_0^{\varepsilon} = 2C \sqrt{\varepsilon} < + \infty$ - значит интеграл сходится.
Делайте аналогично.

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 06 июн 2011, 05:48

Sonic86 писал(а):Source of the post
Вы подстановку в знаменателе неверно сделали.

Пример: проверить сходимость $\int\limits_0^1 \frac{\cos t}{\sqrt{t}} dt$ .
При $t \in (0; \varepsilon), \cos t \leq 1$ , значит $\frac{\cos t}{\sqrt{t}} \leq \frac{1}{\sqrt{t}}$ и значит
$\int\limits_0^{\varepsilon} \frac{\cos t}{\sqrt{t}} dt \leq C \int\limits_0^{\varepsilon} \frac{1}{\sqrt{t}} dt = 2C \sqrt{t} |\limits_0^{\varepsilon} = 2C \sqrt{\varepsilon} < + \infty$ - значит интеграл сходится.
Делайте аналогично.

1) $\int\limits_0^1 \frac{\cos (1-t)}{{t^{\frac {3} {5}}}} dt$

При
$t \in (0; \varepsilon), \cos (1-t) \leq 1$

$\frac{\cos (1-t)}{t^{\frac {3} {5}}} \leq \frac{1}{t^{\frac {3} {5}}}$

$\int\limits_0^{\varepsilon}\frac{\cos (1-t)}{t^{\frac {3} {5}}} dt \leq C \int\limits_0^{\varepsilon} \frac {\cos (1-t)} {t^{\frac {3} {5}}} dt =\frac {5 C} {2} {t^{\frac {2} {5}}} |\limits_0^{\varepsilon} = \frac {5 C} {2} {\varepsilon^{\frac {2} {5}} < + \infty$
Так?
Второй интеграл аналогично ?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 06 июн 2011, 05:55

Вот Вы написали $\frac{\cos (1-t)}{t^{\frac {3} {5}}} \leq \frac{1}{t^{\frac {3} {5}}}$
- после этого дописываете интеграл. Откуда у Вас в

$C \int\limits_0^{\varepsilon} \frac {\cos (1-t)} {t^{\frac {3} {5}}} dt$

В числителе косинус?
Во-вторых, Вы неправильно проинтегрировали $\int \frac{1}{t^{\frac{3}{5}}}dt$ . Вспомните формулу для $\int t^a dt$ .

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 06 июн 2011, 06:04

Sonic86 писал(а):Source of the post
Вот Вы написали $\frac{\cos (1-t)}{t^{\frac {3} {5}}} \leq \frac{1}{t^{\frac {3} {5}}}$
- после этого дописываете интеграл. Откуда у Вас в
$C \int\limits_0^{\varepsilon} \frac {\cos (1-t)} {t^{\frac {3} {5}}} dt$

В числителе косинус?
Во-вторых, Вы неправильно проинтегрировали $\int \frac{1}{t^{\frac{3}{5}}}dt$ . Вспомните формулу для $\int t^a dt$ .

Я поправил интеграл выше, а откуда у вас в числителе косинус? я ж аналогично делал....

nikita1 писал(а):Source of the post
Sonic86 писал(а):Source of the post
Вот Вы написали $\frac{\cos (1-t)}{t^{\frac {3} {5}}} \leq \frac{1}{t^{\frac {3} {5}}}$
- после этого дописываете интеграл. Откуда у Вас в
$C \int\limits_0^{\varepsilon} \frac {\cos (1-t)} {t^{\frac {3} {5}}} dt$

В числителе косинус?
Во-вторых, Вы неправильно проинтегрировали $\int \frac{1}{t^{\frac{3}{5}}}dt$ . Вспомните формулу для $\int t^a dt$ .

Я поправил интеграл выше, а откуда у вас в числителе косинус? я ж аналогично делал....

или надо так:

$\int\limits_0^{\varepsilon}\frac{\cos (1-t)+sin(1-t)}{t^{\frac {3} {5}}} dt \leq C \int\limits_0^{\varepsilon} \frac {1} {t^{\frac {3} {5}}} dt =\frac {5 C} {2} {t^{\frac {2} {5}}} |\limits_0^{\varepsilon} = \frac {5 C} {2} {\varepsilon^{\frac {2} {5}} < + \infty$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 06 июн 2011, 06:05

Не знаю. Я у Вас вижу в числителе косинус, что и процитировал. Убирайте его оттуда, Вы же его сверху оценили.
Далее, найдите правильно $\int \frac{1}{t^{\frac{3}{5}}}dt$

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 06 июн 2011, 06:12

Sonic86 писал(а):Source of the post
Не знаю. Я у Вас вижу в числителе косинус, что и процитировал. Убирайте его оттуда, Вы же его сверху оценили.
Далее, найдите правильно $\int \frac{1}{t^{\frac{3}{5}}}dt$

ну я ж правильно поправил интеграл:

$\int\limits_0^{\varepsilon} \frac {1} {t^{\frac {3} {5}}} dt =\frac {5 C} {2} {t^{\frac {2} {5}}} |\limits_0^{\varepsilon} = \frac {5 C} {2} {\varepsilon^{\frac {2} {5}} < + \infty$

А мне по отдельности рассматривать интегралы как я вначале писал, или мы уже сумму синуса и косинуса оценили и нужно только 1 интеграл рассмотреть?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 06 июн 2011, 06:15

Да, вот теперь правильно
Смысл надеюсь понятен?

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 06 июн 2011, 06:17

Sonic86 писал(а):Source of the post
Да, вот теперь правильно
Смысл надеюсь понятен?

Да, смысл понятен, упростить нужно интеграл перед тем как его на сходимость проверять....как то так... а вы не ответили на вопрос мне и про синус тоже так рассмотреть ?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 06 июн 2011, 06:24

Ааа, проморгал. Надо весь числитель рассматривать, т.е. $\sin (1-t) + \cos (1-t)$ оценивать сверху сразу целиком.

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 06 июн 2011, 06:28

Sonic86 писал(а):Source of the post
Ааа, проморгал. Надо весь числитель рассматривать, т.е. $\sin (1-t) + \cos (1-t)$ оценивать сверху сразу целиком.

ну а как же рассмотреть числитель? я поэтому в предыдущем решении делил интеграл на 2 и рассматривал каждый , они оба сходятся, значит и исходный сходится, так нельзя?

yourdomain.com