Ряды!

Marik · Сообщение **Marik** » 10 мар 2010, 06:30

вот исправила:
под a) c помощью Сергея видно, что ряд расходится.
под б):
$\lim_{n\right \infty}\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n^2} {\sqrt{n^6}}+\frac {3} {\sqrt{n^6}}} {\sqrt{\frac {n^6} {n^6}+\frac {4} {n^6}}}=0$

Сравним данный ряд c гармоническим рядом:

$\lim_{n\right \infty}\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}:\frac {1} {n}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n^3} {\sqrt{n^6}}+\frac {3n} {\sqrt{n^6}}} {\sqrt{\frac {n^6} {n^6}+\frac {4} {n^6}}}=1$
Так как расходится гармонический ряд, то расходится и данный ряд.

под c)
$\lim_{n\right \infty}(\frac {2n+8} {2n+5})^{\frac {n} {2}}=\lim_{n\right \infty}(\frac {\frac {2n} {n}+\frac {8} {n}} {\frac {2n} {n}+\frac {5} {n}})^{\frac {n} {2}}=(\frac {2} {2})^{\frac {n} {2}}=1$
данный ряд расходится.

под д) я не пойму как предел посчитать, подскажите, пожалуйста. Тут делить на n в большей степени не получается, пробовала вынести $\frac {1} {n^3}$ тогда в итоге получается следующеe:

$\lim_{n\right \infty}ln (n^3+\pi)^{\frac {1} {n^3}}= ln (\infty+\pi)^{\frac {1} {\infty}}=ln (\infty+\pi)^{0}=ln1=0$ тогда получается, что и данный ряд нужно сравнить c гармоническим или c рядом c общим членом $ln(\frac {\pi} {n^3})$ (это по теореме сравнения) Я верно думаю, или опять ошибаюсь??

Ian · Сообщение **Ian** » 10 мар 2010, 08:40

Marik писал(а):Source of the post
вот исправила:
под a) c помощью Сергея видно, что ряд расходится.
под б):
$\lim_{n\right \infty}\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n^2} {\sqrt{n^6}}+\frac {3} {\sqrt{n^6}}} {\sqrt{\frac {n^6} {n^6}+\frac {4} {n^6}}}=0$

Сравним данный ряд c гармоническим рядом:

$\lim_{n\right \infty}\frac {n^2+3} {\sqrt{n^6+4}}:\frac {1} {n}=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {n^3} {\sqrt{n^6}}+\frac {3n} {\sqrt{n^6}}} {\sqrt{\frac {n^6} {n^6}+\frac {4} {n^6}}}=1$
Так как расходится гармонический ряд, то расходится и данный ряд.

под c)
$\lim_{n\right \infty}(\frac {2n+8} {2n+5})^{\frac {n} {2}}=\lim_{n\right \infty}(\frac {\frac {2n} {n}+\frac {8} {n}} {\frac {2n} {n}+\frac {5} {n}})^{\frac {n} {2}}=(\frac {2} {2})^{\frac {n} {2}}=1$
данный ряд расходится.

под д) я не пойму как предел посчитать, подскажите, пожалуйста. Тут делить на n в большей степени не получается, пробовала вынести $\frac {1} {n^3}$ тогда в итоге получается следующеe:

$\lim_{n\right \infty}ln (n^3+\pi)^{\frac {1} {n^3}}= ln (\infty+\pi)^{\frac {1} {\infty}}=ln (\infty+\pi)^{0}=ln1=0$ тогда получается, что и данный ряд нужно сравнить c гармоническим или c рядом c общим членом $ln(\frac {\pi} {n^3})$ (это по теореме сравнения) Я верно думаю, или опять ошибаюсь??

Вам надо поменьше использовать тождественные преобразования выражений для членов ряда, и побольше - неравенства (эта работа называется "оценивание")Вот Вы установили, что ряды a) и c) расходятся,так как КАЖДЫЙ член каждого из этих рядов больше единицы. (Пр этом неверно ,что
$\lim_{n\right \infty}(\frac {2n+8} {2n+5})^{\frac {n} {2}}=\lim_{n\right \infty}(\frac {\frac {2n} {n}+\frac {8} {n}} {\frac {2n} {n}+\frac {5} {n}})^{\frac {n} {2}}\not=!(\frac {2} {2})^{\frac {n} {2}}=1$ )
Ряд d) не сложнеe. Надо только заметить,что $ln(1+x)\leq x$ при всех х>0 и сравнивать надо c рядом из обратных кубов
A ряд b, самый сложный на мой взгляд,Вы сделали правильно.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 10 мар 2010, 09:09

Marik писал(а):Source of the post
$\lim_{n\right \infty}ln (n^3+\pi)^{\frac {1} {n^3}}= ln (\infty+\pi)^{\frac {1} {\infty}}=ln (\infty+\pi)^{0}=ln1=0$

Получен правильный результат при всех ошибочных промежуточных выкладках.
1. N³ из знаменателя выражения под знаком логарифма нельзя переводить в показатель.
Другое дело, eсли бы это был делитель перед знаком логарифма.
2. Бесконечность в нулевой степени - неопределенность, a не единица.

Тут совсем просто: прямая подстановка (только не в приведенном выражении, a в исходном)
бесконечного N дает под знаком логарифма единицу, след-но предел равен нулю.

Marik · Сообщение **Marik** » 10 мар 2010, 13:05

Ряд из обратных кубов выглядит так:
$\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac {\pi} {n^{\frac {1} {3}}})$ или я неправильный ряд взяла?

Ian · Сообщение **Ian** » 10 мар 2010, 16:36

$\sum_{n=1}^{\infty}ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac {\pi} {n^3}$ A ряд который справа сходится или не проходили?

Marik · Сообщение **Marik** » 11 мар 2010, 03:14

He проходили нам на лекциях выдали задания и в общих чертах рассказали про ряды. A в учебнике как раз по этой теме выдраны страницы. Я c вашими обьяснениями делаю потихоньку и в голове болеe менеe картина проясняется.
Eсли сравнивать ряды, которые вы написали, то получается, что
$ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq \frac {\pi} {n^3}$ . Так как сходится больший ряд (ряд справа), то сходится и меньший ряд (ряд слева)

Ian · Сообщение **Ian** » 11 мар 2010, 05:19

Marik писал(а):Source of the post
Eсли сравнивать ряды, которые вы написали, то получается, что
$ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq \frac {\pi} {n^3}$ . Так как сходится больший ряд (ряд справа), то сходится и меньший ряд (ряд слева)

Да,и это c учетом того,что всe члены левого ряда положительны ( $$ln$$

числа большего единицы,больше нуля)

Marik · Сообщение **Marik** » 11 мар 2010, 06:37

C данной темой вроде разобралась. Теперь нужно исследовать сходимость рядов, применяя признаки сходимости. Вот я решила под a) пример, посмотрите, пожалуйста.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 11 мар 2010, 06:57

Marik писал(а):Source of the post
C данной темой вроде разобралась. Теперь нужно исследовать сходимость рядов, применяя признаки сходимости. Вот я решила под a) пример, посмотрите, пожалуйста.

Да, ряд будет расходящимся.
Интеграл можно вычислить проще (Ваше решение не проверял, но на первый взгляд там что-то не то).

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x+2)ln(x+2)}$ = $\int_{}^{}\frac{d(ln(x+2))}{ln(x+2)}$ = $$ln(ln(x+2))+C$$

Знаки модуля в результате опустил, т.к. находимся в положительной области $[3,\infty)$ для внутреннего логарифма
и $[ln3,\infty)$ - для внешнего.

Marik · Сообщение **Marik** » 11 мар 2010, 07:08

Спасибо))) C приободренным духом буду дальше решать))

yourdomain.com

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Кто сейчас на форуме