Предел в точке.

bot · Сообщение **bot** » 04 янв 2008, 16:13

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
И все таки, чему равен этот предел?

A ничему не равен - его не существует. Как уже верно замечено, если предел есть, то он есть по любому направлению ... , но не только по направлению - он должен быть при любом выборе способа стремления точки (x,y) в точку (0,0), не только по прямым.
Вот примеры разного похода в точку (0,0) c разными результатами:
0) $$x=y$$

- предел равен 0.
1) $y=\frac{cx}{x-c}, \ \ c\ne 0$ - предел равен c.
2) $x_n=\frac{1}{n}, \ \ y_n=\frac{n}{1-n^2}$ - $\lim=\infty$ .

Пардон за невнимательность - это был ответ на вопрос o пределе ${\lim }\limits_ {x \to 0 \\ y \to 0} \frac{xy}{x+y}$

Этот ещё проще ${\lim }\limits_ {x \to 0 \\ y \to 0} \frac{xy}{x^2+y^2}$
Идём в (0, 0) по прямой $$y=kx$$

и получаем $\frac{k}{1+k^2}$ , то есть предел опять зависит от способа устремления в начало координат, но теперь для опровержения существования предела хватает рассмотрения предела по направлению.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 04 янв 2008, 17:17

Походу таки да
A этом решении

vladb314 писал(а):Source of the post
Разберём предел $\lim \limits_{ x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{{xy}}{{x + y}}$ .
Интуитивно ясно, что этот предел равен 0, так как в числителе бесконечно малая более высокого порядка малости, чем в знаменателе A доказать это можно следующим образом.
${\lim }\limits_{ x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{{xy}}{{x + y}} = {\lim }\limits_{ x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{1}{{\frac{x}{{xy}} + \frac{y}{{xy}}}} = {\lim }\limits_{ x \to 0 \\ y \to 0} \frac{1}{{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}}$
Выражения 1/x и 1/y представляют собой, очевидно, бесконечно большие величины. Сумма двух бесконечно больших величин - бесконечно большая величина. Тогда выражение под пределом - величина бесконечно малая. Её предел равен 0.

ошибка видимо в том что ни при всех способах стремления к (0;0) величина $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ бесконечно большая как ни странно :huh:

puh · Сообщение **puh** » 04 янв 2008, 19:07

Господа и дамы, всем большое спасибо, очень приятно, что у вас еще и споры по поводу нахождения предела в точке возникают.

Особая благодарность форумчанинам Анджела, a так же Draeden. Спасибо!

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 04 янв 2008, 23:01

bot писал(а):Source of the post
A ничему не равен - его не существует. Как уже верно замечено, если предел есть, то он есть по любому направлению ... , но не только по направлению - он должен быть при любом выборе способа стремления точки (x,y) в точку (0,0), не только по прямым.
Вот примеры разного похода в точку (0,0) c разными результатами:
0) - предел равен 0.
1) $y=\frac{cx}{x-c}, \ \ c\ne 0$ - предел равен c.
2) $x_n=\frac{1}{n}, \ \ y_n=\frac{n}{1-n^2}$ - $\lim=\infty$ .

Пардон за невнимательность - это был ответ на вопрос o пределе ${\lim }\limits_ {x \to 0 \\ y \to 0} \frac{xy}{x+y}$

Однако же да... Что-то из всех способов стремления x и y к нулю я не рассмотрел способы, при которых они стремятся к нулю c разных сторон Действительно, предела ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to -0} \frac{xy}{x+y}$ не существует. Тогда прошу рассмотреть следующий предел: ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to +0} \frac{xy}{x+y}$

venja · Сообщение **venja** » 05 янв 2008, 01:01

vladb314 писал(а):Source of the post
Тогда прошу рассмотреть следующий предел: ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to +0} \frac{xy}{x+y}$

Подставьте вместо х и у то, что я предлагал, преобразуйте, устремите r к 0 и получите 0 (при любом фи)

Draeden · Сообщение **Draeden** » 05 янв 2008, 22:11

Интересно, a чему равен такой предел:

$\lim_{x\to -0 \\ y \to -0}(x+y)^{x+y}$

P.S. возражения, вроде " $$ x^x $$

не существует, при любых [math] x:)

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 05 янв 2008, 22:27

venja писал(а):Source of the post
vladb314 писал(а):Source of the post
Тогда прошу рассмотреть следующий предел: ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to +0} \frac{xy}{x+y}$

Подставьте вместо х и у то, что я предлагал, преобразуйте, устремите r к 0 и получите 0 (при любом фи)

Ваш способ даёт 0 даже в случае предела ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to -0} \frac{xy}{x+y}$ , a этом случае он не существует.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 05 янв 2008, 22:43

Draeden писал(а):Source of the post
Интересно, a чему равен такой предел:

$\lim_{x\to -0 \\ y \to -0}(x+y)^{x+y}$

P.S. возражения, вроде " не существует, при любых $$ x:)<br /></div></blockquote><br />ÐÑÑÐµÑÑÐ²ÐµÐ½Ð½Ð¾, Ð½Ðµ ÑÐ°Ðº, ÑÐ°Ðº ÐºÐ°Ðº Ð¾Ð½ Ð½Ðµ ÑÑÑÐµÑÑÐ²ÑÐµÑ Ð»Ð¸ÑÑ Ð½Ð° Ð¼Ð½Ð¾Ð¶ÐµÑÑÐ²Ðµ Ð´ÐµÐ¹ÑÑÐ²Ð¸ÑÐµÐ»ÑÐ½ÑÑ ÑÐ¸ÑÐµÐ» - Ð¾Ð´Ð½Ð¾Ð¼ Ð¸Ð· Ð¿Ð¾Ð´Ð¼Ð½Ð¾Ð¶ÐµÑÑÐ² Ð¼Ð½Ð¾Ð¶ÐµÑÑÐ²Ð° ÐºÐ¾Ð¼Ð¿Ð»ÐµÐºÑÐ½ÑÑ ÑÐ¸ÑÐµÐ».<br />[MATH]{\lim }\limits_{ x \to - 0 \\ y \to - 0 } (x + y)^{x + y} = {\lim }\limits_{t \to - 0} t^t = {\lim }\limits_{t \to + 0} ( - t)^{ - t} = {\lim }\limits_{t \to + 0} (t\,e^{i\pi } )^{ - t} = {\lim }\limits_{t \to + 0} t^{ - t} e^{ - i\pi t} = {\lim }\limits_{t \to + 0} \frac{1}{{t^t }}e^{ - i\pi t} = \frac{1}{1}e^0 = 1$$

venja · Сообщение **venja** » 06 янв 2008, 00:56

[quote name='vladb314' date='5.1.2008, 22:27' post='20782']
[quote name='venja' post='20684' date='5.1.2008, 4:01']
[quote name='vladb314' post='20679' date='4.1.2008, 23:01']
Тогда прошу рассмотреть следующий предел: ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to +0} \frac{xy}{x+y}$
[/quote]
Подставьте вместо х и у то, что я предлагал, преобразуйте, устремите r к 0 и получите 0 (при любом фи)
[/quote] Ваш способ даёт 0 даже в случае предела ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to -0} \frac{xy}{x+y}$ , a этом случае он не существует.
[/quote]
1. Это не так, так как в последнем примере уже нельзя сказать, что
[/quote]
устремите r к 0 и получите 0 (при любом фи)
[/quote]
Уже при фи=-п/4 предела нет, так как не существует выражение под пределом.
B предыдущем примере, насколько можно понять, стремление к началу координат идет их 1 четверти, a потому такого фи быть не может.

2. Такой вид предела мне плохо понятен вообще. Это двойной предел или повторный? Если двойной, то предельная точка M(0,0), стремление к ней по определению должно быть произвольным. И что означает запись предела в виде ${\lim }\limits_ {x \to +0 \\ y \to -0} \frac{xy}{x+y}$ - непонятно.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 06 янв 2008, 15:24

vladb314 писал(а):Source of the post
Draeden писал(а):Source of the post
Интересно, a чему равен такой предел:

...

${\lim }\limits_{t \to - 0} t^t = {\lim }\limits_{t \to + 0} ( - t)^{ - t} = {\lim }\limits_{t \to + 0} (t\,e^{i\pi } )^{ - t} = {\lim }\limits_{t \to + 0} t^{ - t} e^{ - i\pi t} = {\lim }\limits_{t \to + 0} \frac{1}{{t^t }}e^{ - i\pi t} = \frac{1}{1}e^0 = 1$

a если подбираться к нулю слева по такой последовательности:

$a_k=-\frac{1}{2k-1}$

тогда

$(a_k)^{a_k} \sim -(2k-1)^{\frac{1}{2k-1}} \sim -1$

или я где-то ошибся ?

yourdomain.com