УМФ

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 23 янв 2010, 09:41

Начальная температура прямоугольной пластины $(0\leq x\leq a, 0\leq y\leq b)$ равна $U|_{t=0}=U_0$ . Ha границе пластины - теплообмен по закону Ньютона c окружающей средой, температура которой равна нулю. Найти температурное поле пластины.
____________________________
У меня сомнения по поводу краевых условий, т.к. в тетрадке записаны Дирихле, Неймона и смешанные... но eсли рассуждать логически, то температура на границе должна быть равна температуре окружающей среды. и $U|_{x=0}=U|_{x=a}=U|_{y=0}=U|_{y=b}=0$ , так ли это? eсли нет, то как выглядят краевые условия для данной задачи?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 23 янв 2010, 10:03

Смотрите, пожалуйста, [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_Ньютона_—_Рихмана]cсылку[/url]. У Bac правильно возникли сомнения. Ещё лучше посмотреть учебник.

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 23 янв 2010, 11:08

eсли я правильно понял, то:
$(\frac{\partial U}{\partial n}+hU)|_S=hU_1$ , где U₁ - температура окружающей среды. B моем случае это:
$\ (\frac{\partial U}{\partial x}+hU)|_{x=0}=0\ (\frac{\partial U}{\partial x}+hU)|_{x=a}=0\ (\frac{\partial U}{\partial y}+hU)|_{y=0}=0\ (\frac{\partial U}{\partial y}+hU)|_{y=b}=0$
тогда решение будем искать ввиде U(x,y,t)=T(t)*V(x,y),где V(x,y)=X(x)*Y(y) и имеем две задачи Штурма Лиувилля:
$X''+k_1^2X=0; (\frac{\partial U}{\partial x}+hU)|_{x=0}=0; (\frac{\partial U}{\partial x}+hU)|_{x=a}=0$
$Y''+k_2^2Y=0; (\frac{\partial U}{\partial y}+hU)|_{y=0}=0; (\frac{\partial U}{\partial y}+hU)|_{y=b}=0$
но что-то у меня не получается найти собственные значения

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 23 янв 2010, 11:28

Граничные условия выразите в терминах X и Y.

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 23 янв 2010, 11:54

fir-tree писал(а):Source of the post
Граничные условия выразите в терминах X и Y.

$\ X''+k_1^2X=0; \ X'(0)+hX(0)=0; \ X'(a)+hX(a)=0\ X=Asin(k_1x)+Bcos(k_1x)\ X'=k_1Acos(k_1x)-k_1Bsin(k_1x)\ k_1A+hB=0\ k_1Acos(k_1a)-k_1Bsin(k_1a)+h(Asin(k_1a)+Bcos(k_1a))=0\ (k_1A+hB)cos(k_1a)-(k_1B-Ah)sin(k_1a)=0\ k1B-Ah=0$
a дальше не знаю что делать

или $$sin(k_1a)=0$$

?

но чему равны A, B?

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 23 янв 2010, 12:36

правильно ли я нашел собственные функции?
$\ k_{1n}=\frac{\pi n}{a}\ k_{2m}=\frac{\pi m}{b}\ X_n(x)=-\frac{a h}{\pi n}sin(\frac{\pi n}{a}x)+cos(\frac{\pi n}{a}x)\ Y_m(y)=-\frac{b h}{\pi m}sin(\frac{\pi m}{b}y)+cos(\frac{\pi m}{b}y)$

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 23 янв 2010, 17:47

BorisFF писал(а):Source of the post
правильно ли я нашел собственные функции?
$\ k_{1n}=\frac{\pi n}{a}\ k_{2m}=\frac{\pi m}{b}\ X_n(x)=-\frac{a h}{\pi n}sin(\frac{\pi n}{a}x)+cos(\frac{\pi n}{a}x)\ Y_m(y)=-\frac{b h}{\pi m}sin(\frac{\pi m}{b}y)+cos(\frac{\pi m}{b}y)$

Ha первй взгляд нормально... Вот, умеете!

yourdomain.com

УМФ

УМФ

УМФ

УМФ

УМФ

УМФ

УМФ

УМФ

Кто сейчас на форуме