Исследование на экстремум

Jor-El · Сообщение **Jor-El** » 16 авг 2009, 09:25

Доброго всем дня! Помогите,пожалуйста, разрешить одну проблему, возникшую в результате исследования функции на экстремум.
$$U=xyz(4-x-y-z)$$

Дело в том, что после того как я приравнял первые производные к нулю и нашел корни, один из корней получился
$$M_1(0;0;0)$$

Дальше я ищу 2-ые производные и составляю матрицу Гессе. Проблема в том, что матрица в точке $$M_1$$

получается нулевой (значит про экстремум в данной точке ничего сказать нельзя?). Как дальше исследовать? Искать третий и четвёртый дифференциалы?

Jor-El · Сообщение **Jor-El** » 16 авг 2009, 15:09

Очень надо, помогите. He знаю как исследовать эту точку. Есть ли в ней экстремум или нет.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 16 авг 2009, 15:20

Jor-El писал(а):Source of the post
Очень надо, помогите. He знаю как исследовать эту точку. Есть ли в ней экстремум или нет.

Я так подозреваю, что эта точка не является экстремальной. Возьмем $$t$$

- маленькое положительное число. Тогда $$U(t,t,t)>0$$

, a

. Значит в любой окрестности точки (0,0,0) есто точки где значения функции положительны и где отрицательны.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 16 авг 2009, 15:25

Согласно определению точка $$(x_0;y_0;z_0)$$

является точкой максимума (минимума) если найдется такая окрестность, в которой $$f(x_0;y_0;z_0)> (<) f(x,y,z)$$

Рассмотрим точки A(x,y,z) B(-x,y,z) где x>0, y>0, z>0, 4-x-y>0 (очевидно что в любой окрестности нулевой точки найдутся такие точки)
Тогда
$$f(x,y,z)>0=f(0;0;0)$$

Следовательно в любой окрестности точки (0,0,0) найдутся точки в которых значение функции как меньше так и больше значения функции в исследуемой точке. Значит, это не точка экстремума

Опоздал:)

Jor-El · Сообщение **Jor-El** » 16 авг 2009, 18:55

Hottabych, a_l_e_x благодарен. Ситуация начинает проясняться.

yourdomain.com