Дифуравнения: простенькая прикладная задача

ilyin · Сообщение **ilyin** » 19 июл 2009, 12:13

Столкнулся c прикладной задачей. Нынче я работник культуры, сейчас реставрирую уникальную видеозапись старого спектакля. B частности, многие сцены очень темные, надо радикально поднимать яркость. Это принято делать "гамма-коррекцией", которая осуществляется степенной функцией
$f(x)=x^{(1/\gamma)}$
$x\in[0,1]$
Значит, при $\gamma>1$ первая производная вблизи начала координат стремится к бесконечности. И дискретность цифрового изображения приводит к видимой ступенчатости градиентов в тенях. Поэтому пытаюсь написать плагин к видеоредактору, реализующий иную коррекцию, c ограничением производной заданным интервалом.

Стыдно признаться, что двадцать лет назад имел степень к.ф.-м.н. - правда, и тогда буква "м" была лишней, в работе хватало численных методов. A теперь не могу не только решить простенькую систему, но и корректно записать эту систему не смог.
==== Условие задачи ====
Найти f(x) на x€[0;1] при
f(0) = 0
f(0.15) = 0.35
f(1) = 1
f'(0) = 3
f'(1) = 0.7
f'(x) монотонна на интервале [0;1]
==== конец условия ====
Моих сил хватило на пробу без учета точки f(0.15). Подставив линейную первую производную и проинтегрировав, получил $f(x) = 3*x - 2*x^{1.15}$ - увы, это почти линейная функция, она далека от нужной точки (0.15; 0.35). Аппроксимация ломаной не годится, будет видна на градиентах, нужна плавная линия.

Коэффициенты 0.35, 3.0, 0.7 - эмпирические для нашего видео. Надеюсь, если решить задачу в общем виде, то можно будет опубликовать плагин для общей пользы.

Спасибо.
Андрей Ильин

venja · Сообщение **venja** » 19 июл 2009, 13:42

одним значением параметра гамма Вам не удовлетворить всем ограничениям сразу.
Возможно, Вы хотите найти параметр гамма, при котором суммарная ошибка в ограничениях минимальна? Тогда это метод типа метода наименьших квадратов.
Первое, третье и последнее ограничение выполняется для любого гамма.

ilyin · Сообщение **ilyin** » 19 июл 2009, 14:19

venja, спасибо.
Я не ищу параметр гамма, потому что отказался от степенной функции.
Чтоб точнее выделить условия задачи, сейчас отредактирую сообщение, добавив соответствующий заголовок.

Таланов

ilyin писал(а):Source of the post
Чтоб точнее выделить условия задачи, сейчас отредактирую сообщение, добавив соответствующий заголовок.

Да, я бы назвал ваш топик - "Подбор аналитической функции, удовлетворяющей условиям"

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 19 июл 2009, 20:55

ilyin писал(а):Source of the post
==== Условие задачи ====
Найти f(x) на x€[0,1] при
f(0) = 0
f(0.15) = 0.35
f(1) = 1
f'(0) = 3
f'(1) = 0.7
f'(x) монотонна на интервале [0,1]
==== конец условия ====

Условиям удовлетворяет функция
$$f(x)=-1,3833x^4+4,4666x^3-5,0833x^2+3x$$

.
Производная не монотонна, но это может быть и к лучшему. Коррекции бывают и S-образные.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 20 июл 2009, 07:56

Функцию легко найти в виде:

$f=a_0+a_1(x+1)^{\frac{1}{2}}+ ... +a_4(x+1)^{\frac{1}{5}}$

Производная будет монотонной.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 20 июл 2009, 08:39

ALEX165 писал(а):Source of the post
Производная будет монотонной.

Почему? He факт...

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 20 июл 2009, 08:42

Andrew58 писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Производная будет монотонной.

Почему? He факт...

Линейная комбинация монотонно убывающих функций монотонно убывает.

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 20 июл 2009, 08:50

ALEX165 писал(а):Source of the post
Andrew58 писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Производная будет монотонной.

Почему? He факт...

Линейная комбинация монотонно убывающих функций монотонно убывает.

A что будет c монотонно убывающей функцией если ee домножить на отрицательный коэффициент?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 20 июл 2009, 08:58

Andrew58 писал(а):Source of the post
A что будет c монотонно убывающей функцией если ee домножить на отрицательный коэффициент?

Вы правы, но здесь, я думаю проблем не будет.

yourdomain.com