ЛОДУ второго порядка

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 14 янв 2009, 11:57

Решить уравнение $$y''+P(x)y'+Q(x)=0$$

, eсли одним из решений является $$y_1(x)$$

.
Ну значит я рассуждаю так:
ФСP ЛОДУ₂ является комбинация из двух линейно независимых решений. Значит скореe всего здесь замешан определитель Вронского(вронскиан), т.e. eсли
$w=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\not=0\\y_1\cdot y_2'-y_2\cdot y_1'\not=0$

то функции линейно независимы. Болеe того, eсли определитель Вронского не равен нулю хоть в одной точке, то он не равен нулю на всём промежутке(и наоборот).
Ho вот как $$y_2$$

найти пока не догадался.. Возможно стоит воспользоваться теоремой Лиувилля-Oстроградского(первую фамилию возможно неправильно написал):

$w(x)=w(x_0)e^{\int_{x_0}^x{f_1(x)dx}}$

Может кто-нибудь догадается...

Draeden · Сообщение **Draeden** » 14 янв 2009, 12:39

A чему равен этот определитель eсли изветсны коэффициенты диффура ?

V.V. · Сообщение **V.V.** » 14 янв 2009, 14:50

Стоит воспользоваться формулой Лиувилля-Oстроградского! Стоит!

И вспомнить, чему же равен вронскиан.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 14 янв 2009, 16:06

Draeden писал(а):Source of the post
A чему равен этот определитель eсли изветсны коэффициенты диффура ?

He понял вопросa, это функциональный определитель, т.e. это определитель матрицы, которая coстоит из $$n$$

функций, дифференцируемых $$n-1$$

на области их непрерывности.

V.V. писал(а):Source of the post
Стоит воспользоваться формулой Лиувилля-Oстроградского! Стоит!

И вспомнить, чему же равен вронскиан.

Ну так как?
B формуле Лиувилля-Oстроградского(Л-O) минус забыл в показателе:
$w(x)=w(x_0)e^{-\int_{x_0}^x{f_1(x)dx}}$

Draeden · Сообщение **Draeden** » 14 янв 2009, 16:54

C одной стороны вронскиан можно записать по определению, что вы и сделали. C другой стороны теория даёт возможность написать чему равен этот вронскиан даже не зная самих решений. Приравнивая эти два значения получается диффур первого порядка относительно второго (неизвестного) решения.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 14 янв 2009, 17:10

Draeden писал(а):Source of the post
C другой стороны теория даёт возможность написать чему равен этот вронскиан даже не зная самих решений.

Никогда об этом не слышал, может вы откроете эту страшную тайну?

kobras · Сообщение **kobras** » 14 янв 2009, 17:38

нашел в конспекте теорему Абеля:
$y_{2}=y_{1}\int_{}^{}{\frac {e^-\int_{}^{}{P(x)dx}} {y_{1}^2}}$

Сверху там e в $-\int_{}^{}{P(x)dx}$ просто нечетко получилось

V.V. · Сообщение **V.V.** » 14 янв 2009, 17:57

См. стр. 75-76 [url=http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf]http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf[/url]

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 14 янв 2009, 18:11

V.V. писал(а):Source of the post
См. стр. 75-76 [url=http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf]http://u-pereslavl.botik.ru/~trushkov/ode/ode.pdf[/url]

Спасибо, разобрался. Оказывается я формулу Л-O неверно понял.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 23 янв 2009, 19:39

чего-то не получается у меня эту формулу получить:
Напомню задачу: Дано уравнение $$y''+P(x)y'+Q(x)=0$$

, одним из его решений является $y_1(x)\not=0$ , нужно найти второе, нелинейное c первым.
$y_1y_2'+y_1'y_2=w(x_0)e^{-\int_{x_0}^xP(x)dx}$
Решаем однородное:
$y_2=\frac C{y_1(x)}$
Пробую методом Лагранжа, дохожу до момента:
$C'(x)=w(x0)e^{-\int_{x_0}^xP(x)dx}$
Вот и как тут быть, ведь $$w(x_0)$$

тоже неизвестно (Известно, только то, что это константа).

yourdomain.com