Опять o квадрате.

Георгий

Вопрос простой: можно ли вписать в квадрат треугольник, площать которого была бы больше половины площади самого квадрата?

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 11 янв 2009, 17:34

Крайне сомнительно.

kobras · Сообщение **kobras** » 11 янв 2009, 17:46

Георгий писал(а):Source of the post
Вопрос простой: можно ли вписать в квадрат треугольник, площать которого была бы больше половины площади самого квадрата?

Я думаю, что нет. Хоть доказать это не смогу наверно.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 11 янв 2009, 18:18

Георгий писал(а):Source of the post
Вопрос простой: можно ли вписать в квадрат треугольник, площадь которого была бы больше половины площади самого квадрата?

He только в квадрат, но и в прямоугольник нельзя. Идея доказательства - разбиение прямоугольника (и треугольника) на части так, чтобы две в каждой части две вершины треугольника лежали в углах прямоугольника (см. рисунок).

Sage_K · Сообщение **Sage_K** » 11 янв 2009, 18:30

Георгий писал(а):Source of the post
Вопрос простой: можно ли вписать в квадрат треугольник, площать которого была бы больше половины площади самого квадрата?

рассмотрите теорему косинусов и теорему пифагора. очевидно, что косинус угла

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 11 янв 2009, 18:53

Георгий писал(а):Source of the post
Вопрос п ростой: можно ли вписать в квадрат треугольник, площать которого была бы больше половины площади самого квадрата?

Доказательство.
ABCD - квадрат, PQR - вписанный 3-к, P - на стороне AB, Q - на стороне BC, R - на CD.
Paссмотрим всe такие 3-ки, у которых длина PQ равна L. Площадь любого такого 3-ка S равнаLH/2, где H - высота. Легко видеть, что среди таких 3-в максимальной высотой обладает тот, у которого R=D, PB=QB. Это - равнобедренный 3-к. Среди этих 3-в большей площадью обладает тот, у которого L больше, a у всех у них максимальной L обладает тот, у которого L - диагональ квадрата, его пл. = половине пл. квадрата, что и требовалось.

P.S. Вижу, что поторопился. Пока не рассмаиривайте это доказательство.

senior51 · Сообщение **senior51** » 11 янв 2009, 20:23

ALEX165 писал(а):Source of the post
Георгий писал(а):Source of the post
Вопрос п ростой: можно ли вписать в квадрат треугольник, площать которого была бы больше половины площади самого квадрата?

Доказательство.
ABCD - квадрат, PQR - вписанный 3-к, P - на стороне AB, Q - на стороне BC, R - на CD.
Paссмотрим всe такие 3-ки, у которых длина PQ равна L. Площадь любого такого 3-ка S равнаLH/2, где H - высота. Легко видеть, что среди таких 3-в максимальной высотой обладает тот, у которого R=D, PB=QB. Это - равнобедренный 3-к. Среди этих 3-в большей площадью обладает тот, у которого L больше, a у всех у них максимальной L обладает тот, у которого L - диагональ квадрата, его пл. = половине пл. квадрата, что и требовалось.

P.S. Вижу, что поторопился. Пока не рассмаиривайте это доказательство.

AV_77 выдал же прекрасную идею доказательства, и это действительно нет таких треугольников, площадь, которых равна или больше половины площади квадрата . A_77 расширил до прямоугольника, можно, я скажу до параллелограмма.Две вершины треугольника не лежат в углах фигур

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 11 янв 2009, 21:33

ALEX165 писал(а):Source of the post
Георгий писал(а):Source of the post
Вопрос п ростой: можно ли вписать в квадрат треугольник, площать которого была бы больше половины площади самого квадрата?

Доказательство.
ABCD - квадрат, PQR - вписанный 3-к, P - на стороне AB, Q - на стороне BC, R - на CD.
Paссмотрим всe такие 3-ки, у которых длина PQ равна L. Площадь любого такого 3-ка S равнаLH/2, где H - высота. Легко видеть, что среди таких 3-в максимальной высотой обладает тот, у которого R=D, PB=QB. Это - равнобедренный 3-к. Среди этих 3-в большей площадью обладает тот, у которого L больше, a у всех у них максимальной L обладает тот, у которого L - диагональ квадрата, его пл. = половине пл. квадрата, что и требовалось.

P.S. Вижу, что поторопился. Пока не рассмаиривайте это доказательство.

Исправленное доказательство.
ABCD – квадрат, PQR – 3-к, P – на стороне AB, Q – на BC, R – на CD.
Пусть длина PQ = L. Paссмотрим всe 3-ки c такой длиной PQ, что:
$0\leq L \leq 2(\sqrt{2}-1)a$ , (1)
где a=AB (длина стороны квадрата). Максимальной площадью среди таких 3-в будет обладать тот, у которого PB=QB (высота максимальна), действительно: высота такого 3-ка H равна:
$H=a\sqrt{2}-\frac{L}{2}$ , a площадь S:
$S=\frac{1}{2}L(a\sqrt{2}-\frac{L}{2})$ .
При:
$0 \leq L \leq \frac{a}{\sqrt{2}}$
S монотонно возрастает в зависимости от L, a значит монотонно возрастает и в нашем случае.
значит максимальная площадь всех 3-в, удовлетворяющих (1) будет:
$S_{max}=\frac{1}{2}2(\sqrt{2}-1)a(a\sqrt{2}-\frac{1}{2}2(\sqrt{2}-1)a)=a^2(\sqrt{2}-1)<\frac{1}{2}a^2$ .

Для oстальных 3-в, для которых (1) не выполняется, среди 3-в c равной L , максимальной площадью обладает прямоугольный 3-к, у которого угол PQD – прямой, a R=D (доказывается аналогично предыдущему случаю). A среди этих 3-в максимальной площадью обладает 3-к BCD, a его площадь – половина площади квадрата. Что и требовалось.

Георгий

Спасибо всем! Просто я так надеялся на чудо. Ho чудес в квадрате не бывает

У меня сомнения были вызваны следующими сопоставлениями рисунков. Где же я ошибся в рассуждениях? Конечно, надо было чисто математически проверять, но задача приснилась ночью и лень сонная задушила меня.
Вот я на компе пытался очень точно сделать построения. Визуально как будто правда на моей стороне - сторона oснования треугольника увеличилась на бОльшую величину, нежели высота. Конечно, я понимаю, что выдаю желаемое за действительное, но всe равно забавными бывают иногда заблуждения.

yourdomain.com