Каноническая форма диф. уравнений мат. физики

kobras · Сообщение **kobras** » 10 янв 2009, 21:54

Суть задачи в том что нужно уравнения свести к канонической форме.
Сам алгоритм как это делаеться я знаю, но не знаю одной из формул.

Итак в процесe решения мы делаем замену:

t1=f1(x,y)
t2=f2(x,y)

Потом мы должны перейти в уравнении к другим переменным:

U_x=U_t1*t1_x+U_t2*t2_x
U_y=U_t1*t1_y+U_t2*t2_y
U_xx=U_t1t1*(t1_x)²+2*U_t1t2*t1_x*t2_x+U_t1t2*(t2_x)²+U_t1*t1_xx+U_t2*t2_xx
U_yy=U_t1t1*(t1_y)²+2*U_t1t2*t1_y*t2_y+U_t1t2*(t2_y)²+U_t1*t1_yy+U_t2*t2_yy

Вот только не хватает последней формулы для U_xy
Везде искал и не могу найти((( может кто-то знает?

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 11 янв 2009, 07:36

kobras писал(а):Source of the post
Суть задачи в том что нужно уравнения свести к канонической форме.
Сам алгоритм как это делаеться я знаю, но не знаю одной из формул.

Итак в процесe решения мы делаем замену:

t1=f1(x,y)
t2=f2(x,y)

Потом мы должны перейти в уравнении к другим переменным:

U_x=U_t1*t1_x+U_t2*t2_x
U_y=U_t1*t1_y+U_t2*t2_y
U_xx=U_t1t1*(t1_x)²+2*U_t1t2*t1_x*t2_x+U_t1t2*(t2_x)²+U_t1*t1_xx+U_t2*t2_xx
U_yy=U_t1t1*(t1_y)²+2*U_t1t2*t1_y*t2_y+U_t1t2*(t2_y)²+U_t1*t1_yy+U_t2*t2_yy

Вот только не хватает последней формулы для U_xy
Везде искал и не могу найти((( может кто-то знает?

U_xy=U_t1t1*t1_xt1_y+U_t1t2(t1_x*t2_y+t1_y*t2_x)+U_t2t2*t2_x*t2_y+U_t1*t1_xy+U_t2*t2_xy

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 11 янв 2009, 07:46

у меня проблемы c приводом к каноническому виду...
далеe нужно решить уравнение :
$a_{11}U_{t_1t_1}+2a_{12}U_{t_1t_2}+a_{22}U_{t_2t_2}=0$
где
$a_{11} , a_{12} , a_{22}$ известные функции от x y

kobras · Сообщение **kobras** » 11 янв 2009, 09:30

BorisFF писал(а):Source of the post
у меня проблемы c приводом к каноническому виду...
далеe нужно решить уравнение :
$a_{11}U_{t_1t_1}+2a_{12}U_{t_1t_2}+a_{22}U_{t_2t_2}=0$
где
$a_{11} , a_{12} , a_{22}$ известные функции от x y

Это у тебя в начале такая форма? или после того как ты попробовал привести к каноническому виду?

BorisFF · Сообщение **BorisFF** » 11 янв 2009, 10:32

это из учебника по теории общий принцип
изначально у меня
$(1+x^2)^2U_{xx}+U_{yy}+2x(1+x^2)U_x=0$

kobras · Сообщение **kobras** » 11 янв 2009, 12:00

BorisFF писал(а):Source of the post
это из учебника по теории общий принцип
изначально у меня
$(1+x^2)^2U_{xx}+U_{yy}+2x(1+x^2)U_x=0$

Ну нам обясняли это так:

$$A(x,y)U_{xx}+2B(x,y)U_{xy}+C(x,y)U_{yy}+Ф()=0$$

По этому уравненю записиваем:
$$A(x,y)(dy)^2-2B(x,y)dxdy+C(x,y)(dx)^2=0$$

Решаем квадратное уравнения относительно dy
B зависимости от значения дискреминанта:
1) D<0 $dy=\frac {B \pm \sqrt {D}} {A}dx$

Находимо интеграл: $f1(x,y) \pm if2(x,y)$
тогда
$\{{t1=f1(x,y) \\ t2=f2(x,y)}$

2) D>0
$dy=\frac {B \pm \sqrt {D}} {A}dx$
Находимо два интеграла и пишем что
f1(x,y)=C1 f2(x,y)=C2
и как в предидущем случае:
$\{{t1=f1(x,y) \\ t2=f2(x,y)}$

3)D=0
Находимо один интеграл f(x,y)
И тогда система:
$\{{t1=f(x,y) \\ t2=x}$

После этого находимо Uxx, Uyy, Uxy, Ux, Uy по формулах и подставляемо в первое уравнения.
B твоем случае:
$$(1+x^2)^2(dy)^2+(dx)^2=0$$

$dy=\pm \frac {dx} {1+x^2}$
$y \pm iarctg x=C$
$\{{t1=y \\ t2=arctg x}$
используем формулы:
$U_{x}=U_{t2}\frac {1} {1+x^2}$
$U_{xx}=U_{t2t2}\frac {1} {(1+x^2)^2}-2U_{t2}\frac {x} {(1+x^2)^2}$
$U_{yy}=U_{t1t1}$
После подстановки в первое уравнения:
$U_{t1t1}+U_{t2t2}=0$
Возможно где то ошибся, но должно получиться что-то похожое))

yourdomain.com