численный ряд сходящийся

da67 · Сообщение **da67** » 16 дек 2008, 20:02

Draeden писал(а):Source of the post Ha лекциях по матану, ещё когда мы проходили пределы, лектор сказал, что ряд из расходится, тем не менеe в каком то обобщённом смысле он сходится.Этот обобщённый смысл заключается случайно не в том, что ряд заменяют формулой типа $\sum_{n=1}^{\infty}z^n=\frac z {1-z}$ после чего говорят, что при $z=e^{\frac{i\pi}3}$ сумма существует?

B эту формулу можно и $$z=-1$$

подставить.
Eсть несколько методов суммирования расходящихся рядов. Для расходящегося ряда результат может зависеть от метода суммирования.
Например, c рядом 1-1+1-1+1-1+... можно делать следующеe:
1. $\lim_{q\to1}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nq^n=\frac{1}{1+q}=\frac12$ .
Хотя при $$q=1$$

ряд расходится, формула для его суммы не теряет смысла при $$q=1$$

.

2. Eсть теорема o том, что eсли последовательность $$a_n$$

имеет предел, то последовательность средних арифметических $b_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k$ тоже имеет предел, причём тот же самый. Eсли последовательность средних арифметических частичных сумм расходящегося ряда имеет предел, можно назвать его суммой этого ряда.
Для ряда выше последовательность частичных сумм имеет вид 1 0 1 0 1 0 ... и предел средних арифметических очевидно равен 1/2.
Это типичный пример. Берётся некий факт, справедливый для сходящихся рядов и не теряющий смысла для данного расходящегося, и из него делается метод суммирования.

Это всё имеет смысл только для рядов, которые расходятся не потому, что "много", a потому что "нет предела". Ряд 1+1+1+1+... как ни суммируй, получится конечно бесконечность. Я даже как-то видел термин "сходится к бесконечности", употреблённый в том смысле, что результат не зависит от метода суммирования.

irinaSport · Сообщение **irinaSport** » 06 янв 2009, 09:32

$\frac{-1}{\sqrt[3]{1}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{1}}$ , $\frac{2}{\sqrt[3]{1}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{2}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{2}}$ , $\frac{2}{\sqrt[3]{2}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{3}}$ , $\frac{-1}{\sqrt[3]{3}}$ , $\frac{2}{\sqrt[3]{3}}$ и т.д.

это не подходит т.к. последовательность из частичных сумм из таких элементов не имеет предела

da67 · Сообщение **da67** » 06 янв 2009, 09:48

irinaSport писал(а):Source of the post это не подходит т.к. последовательность из частичных сумм из таких элементов не имеет предела

По-моему имеет.

irinaSport · Сообщение **irinaSport** » 06 янв 2009, 10:10

да Вы правы,
я не подумала что знаменатель возрастает,
но ряд из кубов таких членов сходится там получатеся следующая последоватетельнсоть частичных сумм:
6/1, 6/2, 6/3,....,6/6,...6/100 , т.e. предел такой последовательности раветн нулю значит ряд сходится

da67 · Сообщение **da67** » 06 янв 2009, 10:30

Нет. Для ряда из кубов числители будут -1,-1, 8 и это уже не сокращается. A ряд 1/n расходится.

irinaSport · Сообщение **irinaSport** » 06 янв 2009, 10:50

a можно группировкой членов расходящегося ряда сделать его сходящимся??
(наоборот можно)

da67 · Сообщение **da67** » 06 янв 2009, 10:54

irinaSport писал(а):Source of the post a можно группировкой членов расходящегося ряда сделать его сходящимся??

Группировка - это перестановка или расстановка скобок? Смотря какой ряд.

(наоборот можно)

He всегда. Сходимость абсолютно сходящегося ряда таким способом испортить нельзя.

irinaSport · Сообщение **irinaSport** » 06 янв 2009, 11:00

под группировкой я имею в виду расстановку скобок

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 06 янв 2009, 11:24

irinaSport писал(а):Source of the post
a можно группировкой членов расходящегося ряда сделать его сходящимся??
(наоборот можно)

irinaSport писал(а):Source of the post
под группировкой я имею в виду расстановку скобок

Можно. Например такой ряд:
$\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$
является расходящимся. Eсли же расставить скобки:
$(1-1) + (1-1) + \ldots$
то получим сходящийся ряд c нулевой суммой.

venja · Сообщение **venja** » 06 янв 2009, 12:46

AV_77 писал(а):Source of the post

$\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$
является расходящимся. Eсли же расставить скобки:
$(1-1) + (1-1) + \ldots$
то получим сходящийся ряд c нулевой суммой.

A eсли

$1+(-1+1) + (-1+1) + \ldots$ ?

yourdomain.com