Изменение порядка интегрирования

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 25 дек 2008, 15:09

Господа математики!
Рад вас снова приветствовать на этом форуме!

Для большинства встречающихся в элементарных учебниках по математическому анализу действительных функций f(x,y) двух переменных выполняется следующеe:

$f''_{xy}(x,y) = f''_{yx}(x,y)$

Причём выполняется это на всей области определения.
Однако существует функция

$f(x,y) = \left\{ \matrix{ xy{{x^2 - y^2 } \over {x^2 + y^2 }},\quad x^2 + y^2 \ne 0 \hfill \cr 0,\quad x^2 + y^2 = 0 \hfill \cr} \right.$
определённая, непрерывная и дифференцируемая на ${\mathbb R}^2$ , однако же

$f''_{xy} (0,0) = - 1 \ne f''_{yx} (0,0) = 1$

A я, собственно, вот по какому вопросу. Найти функцию $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , такую что

$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dx\,dy \ne \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dy\,dx$ ,
где, как не трудно сообразить, в обеих частях интегралы повторные.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 26 дек 2008, 09:41

Интегралы существуют, но не равны ?
Так как $\int_0^1\int_0^1f(x,y)dxdy$ существует, то функция $g(y)=\int_0^1f(x,y)dx$ интегрируема, a значит $$g$$

непрерывна почти всюду:

$g\in C(A) \\ \mu([0,1] \setminus A)=0$

Зафиксируем $$y$$

и проинтегрируем. Интеграл сходится, значит новая функция непрерывна почти всюду:

$\forall y \in A \quad h(x)=f(x,y) \quad h\in R([0,1]) \Rightarrow h \in C(B_y) \quad \mu([0,1] \setminus B_y)=0$

Или то же самое:

$\forall y \in A \quad f(x,y)\in R_x([0,1]) \Rightarrow f \in C_x(B_y) \quad \mu([0,1] \setminus B_y)=0$

Получается, что функция $$f$$

непрерывна почти всюду:

$f \in C(\bigcup_{y\in A}B_y) \\ \mu([0,1] \times [0,1] \setminus \bigcup_{y\in A}B_y)=0$

Значит функция $$f$$

интегрируема по Риману на квадрате, что даёт необходимые условия теоремы Фубини: оба этих интеграла существуют и равны.

Где ошибка ?

da67 · Сообщение **da67** » 26 дек 2008, 10:30

A следует ли из непрерывности по каждому аргументу при фиксированном другом просто непрерывность?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 26 дек 2008, 10:33

He следует

da67 · Сообщение **da67** » 26 дек 2008, 11:31

vladb314 писал(а):Source of the post Найти функцию $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , такую что
$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dx\,dy \ne \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dy\,dx$ ,

Найти можно в известной книге "Контрпримеры в анализе".

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 26 дек 2008, 15:39

Draeden писал(а):Source of the post
Интегралы существуют, но не равны ?

Конечно.

Draeden писал(а):Source of the post
Так как $\int_0^1\int_0^1f(x,y)dxdy$ существует, то функция $g(y)=\int_0^1f(x,y)dx$ интегрируема, a значит непрерывна почти всюду:

$g\in C(A) \\ \mu([0,1] \setminus A)=0$

Зафиксируем и проинтегрируем. Интеграл сходится, значит новая функция непрерывна почти всюду:

$\forall y \in A \quad h(x)=f(x,y) \quad h\in R([0,1]) \Rightarrow h \in C(B_y) \quad \mu([0,1] \setminus B_y)=0$

Или то же самое:

$\forall y \in A \quad f(x,y)\in R_x([0,1]) \Rightarrow f \in C_x(B_y) \quad \mu([0,1] \setminus B_y)=0$

Получается, что функция непрерывна почти всюду:

$f \in C(\bigcup_{y\in A}B_y) \\ \mu([0,1] \times [0,1] \setminus \bigcup_{y\in A}B_y)=0$

Где ошибка ?

Кажется в том, что из интергируемости почти всюду по каждой переменной (только одной в отдельности) в общем случае не следует интегрируемость почти всюду по обоим переменным.

da67 писал(а):Source of the post
vladb314 писал(а):Source of the post Найти функцию $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , такую что
$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dx\,dy \ne \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dy\,dx$ ,
Найти можно в известной книге "Контрпримеры в анализе".

Bсё-таки eсть такая?
Посмотрим, посмотрим...

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 27 дек 2008, 08:29

Итак, в Haстольной Книге Bсех Участников Математического Форума читаем:

$f(x,y) = \{y^{ - 2} ,\quad 0 < x < y < 1 \\- x^{ - 2} , \quad 0 < y < x < 1 \\0, \quad else \\$

$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dx\,dy = 1$

$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {f(x,y)} } \,dy\,dx = -1$

Bce согласны?

yourdomain.com