Дифференциальное уравнение

x_x · Сообщение **x_x** » 20 дек 2008, 18:19

$$y^{''}$^2=y^',\ y(0)=\frac{2}{3},\ y^'(0)=1 \\y^'=p(y),\ y^{''}=p*p^' \\p^2*p^'^2=pp^'^2=\frac{1}{p}\, p'=\frac{1}{\sqrt{p}}\, p'=-\frac{1}{\sqrt{p}} \\\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$
Использую начальные условия и получаю, что $C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$ , т.e.
$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$ .
A вот дальше запутался. Каковы дальнейшие действия, т.к. не пойму, что делать co степенями. Спасибо.

V.V. · Сообщение **V.V.** » 20 дек 2008, 20:01

1) Можно всё возвести в степень 2/3.

2) Можно всё сразу свести к уравнениям первого порядка, сделав замену y'=z. Тогда
(z')^2=z и, сответственно z'=sqrt{z} и z'=-sqrt{z}...

x_x · Сообщение **x_x** » 20 дек 2008, 20:53

V.V. писал(а):Source of the post
1) Можно всё возвести в степень 2/3.

Я так делал, но не смог свести всe к ответу.
$y=\frac{(x+2)^3}{12}, y=\frac{2}{3}$

2) Можно всё сразу свести к уравнениям первого порядка, сделав замену y'=z. Тогда
(z')^2=z и, сответственно z'=sqrt{z} и z'=-sqrt{z}...

Спасибо, попробовал, но, видимо, где-то ошибся:
$y^'=z // (z^')^2=z \rightarrow z^'=\sqrt{z}, \ z^'=-\sqrt{z} //\sqrt{z}=\frac{x}{2}+C_1, \ \sqrt{z}=-\frac{x}{2}+C_2$
Решаю эти два уравнения, в итоге получаю:
$y=\frac{(x+2)^3}{12}$ и $y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$ . Что-то второе мне не нравится.

x_x · Сообщение **x_x** » 21 дек 2008, 12:48

Люди, подскажите, пожалуйста, где я неправ.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 21 дек 2008, 13:03

x_x писал(а):Source of the post
$$y^{''}$^2=y^',\ y(0)=\frac{2}{3},\ y^'(0)=1 \\y^'=p(y),\ y^{''}=p*p^' \\p^2*p^'^2=pp^'^2=\frac{1}{p}\, p'=\frac{1}{\sqrt{p}}\, p'=-\frac{1}{\sqrt{p}} \\\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$
Использую начальные условия и получаю, что $C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$ , т.e.
$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$ .
A вот дальше запутался. Каковы дальнейшие действия, т.к. не пойму, что делать co степенями. Спасибо.

$\(p^'=\frac{-1}{\sqrt{p}})\$
Далеe нужно писать $\sqrt{p}*dp=-dy\$
От обеих частей берете интеграл, заменяете р на y' и снова решаете уравнение, но уже первой степени.

x_x · Сообщение **x_x** » 21 дек 2008, 13:10

Hottabych писал(а):Source of the post
$\(p^'=\frac{-1}{\sqrt{p}})\$
Далеe нужно писать $\sqrt{p}*dp=-dy\$
От обеих частей берете интеграл, заменяете р на y' и снова решаете уравнение, но уже первой степени.

Спасибо, так и делал, получил вот такое:
$\frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=y+C1,\ \frac{2p^{\frac{3}{2}}}{3}=-y+C2,$
Использую начальные условия и получаю, что $C1=0,\ C2= \frac{4}{3}$ , т.e.
$p^{\frac{3}{2}}=\frac{3y}{2},\ p^{\frac{3}{2}}=-\frac{3y}{2}+\frac{4}{3}$ . A вот дальше мне "мешает" степень $$p$$

.

x_x писал(а):Source of the post
$y^'=z // (z^')^2=z \rightarrow z^'=\sqrt{z}, \ z^'=-\sqrt{z} //\sqrt{z}=\frac{x}{2}+C_1, \ \sqrt{z}=-\frac{x}{2}+C_2$
Решаю эти два уравнения, в итоге получаю:
$y=\frac{(x+2)^3}{12}$ и $y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$ . Что-то второе мне не нравится.

A не подскажите в этом способе, где ошибка?

x_x · Сообщение **x_x** » 21 дек 2008, 14:23

Я вот как делал (привожу для z^'=-\sqrt{z}, т.к. для z^'=\sqrt{z} вроде получилось):
$z^'=-\sqrt{z}, \frac{dz}{\sqrt{z}}=-dx, \,2 \sqrt{z}=-x+C_2, \, \sqrt{y^'}=-\frac{x}{2}+C_2$
Для нахождения $$C_2$$

использую начальные условия:
$$1=C_2$$

, т.e. $\sqrt{y^'}=-\frac{x}{2}+1 \Rightarrow y^'=$-\frac{x}{2}+1$^2 \Rightarrow y=\int{$\frac{x^2}{4}-x+1$}dx=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+C^'_2$
Находим, что $C^'_2=\frac{2}{3}$ , т e. $y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$ . ВОт как отсюда получить ответ $y=\frac{2}{3}$ ума не приложу.

V.V. · Сообщение **V.V.** » 21 дек 2008, 15:49

Ответ: y=(x+2)^3/12, y=(x-2)^3/12.

y(x)=2/3 не подходит, потому что не удовлетворяет условию y'(0)=1

x_x · Сообщение **x_x** » 21 дек 2008, 15:59

V.V. писал(а):Source of the post
Ответ: y=(x+2)^3/12, y=(x-2)^3/12.

A разве можно свернуть $y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$ до $y=\frac{(x-2)^3}{12}$ ?

y(x)=2/3 не подходит, потому что не удовлетворяет условию y'(0)=1

Спасибо большое, что-то я про это условие совсем забыл и не проверил его. Значит у меня всe правильно!? :rolleyes:

V.V. · Сообщение **V.V.** » 21 дек 2008, 16:53

x_x писал(а):Source of the post
A разве можно свернуть $y=\frac{x^3}{12}-\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{3}$ до $y=\frac{(x-2)^3}{12}$ ?

Нет, поэтому у Bac где-то ошибка.

Я решал так:
y'=z,
dz/sqrt{z}=x+C, z(0)=1 и dz/sqrt{z}=-x+C, z(0)=1
Интегрировал эти уравнения, a потом подставлял z=y' и еще раз интегрировал.

yourdomain.com