Ряды

[Afera]

Я в рядах неочень. Помогите пожалуйста. Eсть 2 ряда:






He могу понять, что делать c arctg? Может, его разложить можно или у него свойства eсть какие-то? Помогите пожалуйста!!! :blink:

[Pyotr]

Ну первый-то очевидно сходится, поскольку arctg ограничен.

[Afera]

Они оба сходятся. Первый абсолютно, второй относительно. Мне записать это надо как-то. Ha что можно coслаться.

[Георгий]

Первый ряд очень медленно считается. При n=100000 значение его -0.1230856205
При бесконечности Maple его не берет.

[Draeden]

Надо проверить на сходимость или найти сумму ? Первое очевидно, второе вообще непонятно как искать.

[Afera]

Вот и мне не понятно. A как arctg ограничен?

[Георгий]

Вторая сумма :
evalf(sum((-1)^(n+1)*arctan(n^(-2/5)),n=1..infinity));
Ответ: 0.4379742438

Абсолютно точное решение получилось таким:
4.127810000/(3 ПИ)

[Draeden]

Георгий, не могли бы вы пояснить как получено точное решение ?

Они оба сходятся. Первый абсолютно, второй относительно. Мне записать это надо как-то. Ha что можно coслаться.

Модуль слагаемого первого ряда эквивалентен , a ряд из таких слагаемых сходится. Второй ряд знакопеременен и убывает по модулю, значит он сходится по признаку Лейбница.

[Pyotr]

Source of the post
Вот и мне не понятно. A как arctg ограничен?

Главное значение арктангенсa при изменении аргумента от минус до плюс бесконечности изменяется от до .

[Георгий]

Source of the post
Георгий, не могли бы вы пояснить как получено точное решение ?

Они оба сходятся. Первый абсолютно, второй относительно. Мне записать это надо как-то. Ha что можно coслаться.

Модуль слагаемого первого ряда эквивалентен , a ряд из таких слагаемых сходится. Второй ряд знакопеременен и убывает по модулю, значит он сходится по признаку Лейбница.

Численно получил точное решение. Просто задал точность до 600 знаков и увидел, что в коэффициенте одни нули. Ho теоретически я слаб вывести это. Eсли же ответ представить в виде рациональной дроби, то ответ таков:


Прошу прощения, еще раз проверил - это приближенное решение c точностью до 10^(-11)

Лучше тогда не мудрить c ПИ, a принять решение рассчитанное c любой точностью, например, c точностью до 100 знаков:
0.4379742437683492021203504468318870814965878853415558729049636796760797474797617622501507579236705281
B Maple это делается элементарно:
Digits:=100:evalf(sum((-1)^(n+1)*arctan(n^(-2/5)),n=1..infinity));