Функция, вектор - найти градиент, производную

Надин · Сообщение **Надин** » 17 июн 2008, 10:22

Привет всем! Помогите, пожалуйста, c решением:

Задана функция $z= \frac{4}{x^2+y^2}$ точку Mo(1;1) и вектор $\vec e=2\vec i + 2\vec J$ . Найти:
1) grad (градиент) в точке Mo;
2) производную в точке Mo в направлении вектора e.

Спасибо большое.

Arven · Сообщение **Arven** » 17 июн 2008, 10:27

Надин писал(а):Source of the post
Привет всем! Помогите, пожалуйста, c решением:
Задана функция z= \frac{4}{x^2+y^2}, точку Mo(1;1) и вектор \vec{e}=\vec{2i} + \vec{2J}. Найти:
1) grad (градиент) в точке Mo;
2) производную в точке Mo в направлении вектора e.

Это тема "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных". Формулы для градиента и для того, как найти производную в точке, есть в любом учебнике. (Демидович, Фихтенгольц...... етс.)
Подставляете в эти формулы свой пример и находите.

Спасибо большое.

НП.

Надин · Сообщение **Надин** » 17 июн 2008, 11:50

Ну, не могу сказать, что не читала эту тему. Вот, сижу над ней и ничего не пойму

. Некоторые другие темы как-то легче даются.

Может, кто подскажет?

Arven · Сообщение **Arven** » 17 июн 2008, 12:06

Формула для графиента: $gradZ(A)=\frac {dz(A)} {dx}i+\frac {dz(A)} {dy}j$ . To есть Вам надо найти частные производные Вашей функции. Потом подставить в эти частные производные значение вашей точки (х и у соответсвенно) и вычислить числовое значение.
Градиент функции в этой точке будет выглядеть как:
$$gradZ(A)=A*i+B*j$$

, где A, B -- соответсвенно значения частных производных по Х и по У в этой точке.
2. Производная по направлению вектора $\vec{a}$ находится по следующей формуле:
$\frac {dz(A)} {da}=\frac {dz(A)} {dx}*cos\alpha + \frac {dz(A)} {dy}*cos\beta$ . Поскольку частные производные у Bac уже найдены, Вам надо будет найти единичный вектор $\vec{a_0}$ от вектора $\vec{a}$ :
$\vec{a_0}=\frac {\vec{a}} {|\vec{a}|}$ , взять оттуда нужные вам косинусы и подставить в формулу для для производной по направлению.
Если что-то не будет получаться -- пишите сюда.
P.S. Да, конечно, у вас в литературе очень мало и непонятно про это написано. Попробуйте прочитать Демидовича. И попробуйте поискать в литературе именно решения аналогичных вашему примеров.

yourdomain.com