Интеграл

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 25 фев 2008, 10:39

Ну вот уже прошло более двух недель после каникул и пора начинать учится :cray: . Эх как всё плохо и скучно :cray: . Вот открыл свои лекции по математике.. и увидел новое слово "интеграл" :blink: . Ну и собственно пока я читал про это, наткнулся на пример, который никак не могу понять :
$\int{\frac {x^2dx}{\sqrt[3]{5+x^3}}}=\begin{bmatrix} y=5+x^3\\ dy=3x^2dx\end{bmatrix}=\frac 13\int{\frac {dy}{\sqrt[3]y}}=2y^{\frac 23}=\ldots$
Объясните плиз последнее преобразование, просто если б я решал, то сделал бы так:
$\ldots=\frac 13\int{\frac{dy}{\sqrt[3]y}}=\sqrt[3]y=\ldots$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 25 фев 2008, 11:08

qwertylol писал(а):Source of the post
Ну и собственно пока я читал про это, наткнулся на пример, который никак не могу понять :
$\int{\frac {x^2dx}{\sqrt[3]{5+x^3}}}=\begin{bmatrix} y=5+x^3\\ dy=3x^2dx\end{bmatrix}=\frac 13\int{\frac {dy}{\sqrt[3]y}}=2y^{\frac 23}=\ldots$
Объясните плиз последнее преобразование, просто если б я решал, то сделал бы так:
$\ldots=\frac 13\int{\frac{dy}{\sqrt[3]y}}=\sqrt[3]y=\ldots$

И сделали бы неправильно (кстати, первое тоже неправильно):
$\frac{1}{3}\int \frac{dy}{\sqrt[3]{y}} = \frac{1}{3}\int y^{-\frac{1}{3}}dy = \frac{1}{3} \frac{y^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{1}{2} y^{\frac{2}{3}} + C$

Здесь используется такое правило интегрирования:
$\int x^{a} dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$ , если $a \neq -1$ .

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 25 фев 2008, 13:15

Вот спасибо! У меня почему-то $-\frac 13+1$ получалось $\frac 13$ (co мной такое часто бывает).
Вот ещё примерчик, он из того-же раздела, но "в лоб" я его что-то решить не могу:
$\int{\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx}$
После замены тут вот такая чушь получается:
$\int{\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx}= \begin{bmatrix}y=e^x+1\\ dy=e^x\end{bmatrix}= \int{\frac{dy^3+1}y}$
Это задание из типового рассчёта и ответа к нему нет.
P.S. A может удобнее будет читаться, если писать не $\e^x$ , a $$e^x$$

?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 25 фев 2008, 13:37

A чо тут делать ?

$$ t = e^x $$

$\int {\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx} = \int{\frac{t^3+1}{t+1}\frac{dt}{t}}$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 25 фев 2008, 13:54

хорошо, пусть будет так:
$\int{\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx}= \begin{bmatrix}t=e^x\\ dt=e^x\end{bmatrix}= \int{\frac{t^3+1}{t+1}\cdot\frac{dt}t}$
тогда каким правилом интегрирования воспользоваться, для нахождения интеграла?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 25 фев 2008, 13:59

Да элементарно, это пример c первого курса детского сада (c углублённым изучением высшей математики).

$$ t = e^x $$

$\int {\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx} = \int{\frac{t^3+1}{t+1}\frac{dt}{t}} = \int{(t-1 + \frac 1 t)dt} = \frac {t^2} 2 - t + \ln t = \frac{e^{2x}}2 - e^x + x$

Вообще я тебе скажу, это изврат, пример решается так:

$\frac{e^{3x}+1}{e^x+1} = e^{2x}-e^x+1$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 25 фев 2008, 15:02

Да элементарно, это пример c первого курса детского сада (c углублённым изучением высшей математики).

Почти угадал! Первый курс, но углублённое изучение информатики (программирование, выч. мат.).

yourdomain.com