Системы ДУ.

puh · Сообщение **puh** » 23 янв 2008, 04:35

Приветствую.

Уважаемые форумчане, подскажите, будьте любезны, как решить следующие системы:

1) $\{{\dot{x}=3x-2y \\\dot{y}=2x-y+15e^t\sqrt{t}}$
Методом сведения к одному уравнению я решила, a вот c методом вариации постоянных (т.e. метод Эйлера) не получается.
Как я понимаю, нужно составить однородную систему на основе матрицы... Подскажите, будьте любезны.

2) $\dot{x}=Ax$

x - вектор, A - матрица.

$A\Large = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 5 & -3\end{pmatrix}$

Были попытки разобраться c помощью указаний в сборнике задач Филлипова, все тщетно.
Жду помощи и заранее благодарю.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 24 янв 2008, 12:07

Теория

матричное уравнение

$$ L(p)z=f $$

определитель системы

$$ D(p) = |L(p)| $$

алгебраическое дополнение к $L_{j,i}(p)$

$M_{i,j}(p) = [L(p)]_{j,i}$

преобразование исходного уравнения

$\begin{pmatrix} M_{k,1}(p) & \cdots & M_{k,n}(p) \end{pmatrix}L(p)z=\begin{pmatrix} M_{k,1}(p) & \cdots & M_{k,n}(p) \end{pmatrix}f$

используя ассоциативность матричного умножения,
a также две нетривиальных теорамы из алгебры

$\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & D(p) & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}z=\begin{pmatrix} M_{k,1}(p) & \cdots & M_{k,n}(p) \end{pmatrix}f$

причём $$ D(p) $$

стоит именно на k-ом месте.
Окончательный результат

$D(p)z_k=\begin{pmatrix} M_{k,1}(p) & \cdots & M_{k,n}(p) \end{pmatrix}f$

если $$ f = 0 $$

(как в твоём случае), то формула намного проще

$D(p)z_k=0 \\ D(p)z=0$

Пример

$\{{x'=wy \\ y'=-wx}$

$\begin{pmatrix} p & -w \\ w & p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$$ D(p) = p^2+w^2 $$

$\{{x''+w^2x=0 \\ y''+w^2y=0}$

дальше очевидно.

Твой пример

$x'=Ax \\ px=Ax \\ (A - p)x = 0 \\ D(p) = |A - p|$

дальше по шаблону.

Вариационный метод

Матричное уравнение

$$ x'=Ax+f $$

фундаментальная система решений для $$ x'=Ax $$

(можно найти методом, который я написал)

$\{ x_1, \cdots, x_n \}$

общее решение для $$ x'=Ax+f $$

(здесь

функции)

$x = c_1x_1+\cdots+c_nx_n$
$x' = (c_1'x_1+\cdots+c_n'x_n)+(c_1x_1'+\cdots+c_nx_n')$
$Ax+f=(c_1Ax_1+\cdots+c_nAx_n)+f=(c_1x_1'+\cdots+c_nx_n')+f$
$c_1'x_1+\cdots+c_n'x_n = f$

функции $$ c_i' $$

находятся методом Крамера,
затем интегрированием находятся $$ c_i $$

.

P.S. Я обращаюсь к тебе "на ты" потому что мне сложно определить твой возраст
глядя на твой профиль ибо там почти ничо нет a так, мне кажется, что тебе где то 18 лет,
и обращатся к тебе так вполне можно

puh · Сообщение **puh** » 24 янв 2008, 18:17

Теория - вещь хорошая, благодарю.
Co всем разобралась, помогли собственные же конспекты, что не может не радовать, до вашего уровня мне далеко.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 24 янв 2008, 18:25

He так уж и далеко, я сам это выучил 2 дня назад

yourdomain.com