Разрывные функции

Draeden · Сообщение **Draeden** » 02 янв 2008, 20:34

Насчёт 1) прошу пояснить: где функция неограничена ?
Ибо если везде, то в любой окресности любой иррациональной точки $$ x $$

найдётся точка $$ a $$

которая стоит от точки $$ x $$

далеко, т.e. будет велика разность $$ |f(x) - f(a)| $$

, a непрерывность в $$ x $$

требует обратного.

Предлагаю функцию для 2)
Пусть эта функция действует так:

0) $0 \to 0$
1) $\frac{1}{n} \to n$
2) $\frac{m}{n} \to \frac{1}{n}$
3) ${\mathbb R} \backslash {\mathbb Q} \to 0$

(правила действют в указанном порядке, не совсем математично, зато наглядно)
B рациональных точках она разрывна, в иррациональных - непрерывна, a в любой окресности нуля - неограничена. Вроде всё правильно...

P.S. кстати, вы набираете {\mathbb R} чтоб написать множество действительных чисел ?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 02 янв 2008, 21:34

Draeden писал(а):Source of the post
Насчёт 1) прошу пояснить: где функция неограничена ?

Прошу прощения, я имел в виду неограничена на бесконечности.

Draeden писал(а):Source of the post
B рациональных точках она разрывна, в иррациональных - непрерывна, a в любой окресности нуля - неограничена. Вроде всё правильно...

Да, действительно...

Draeden писал(а):Source of the post
P.S. кстати, вы набираете {\mathbb R} чтоб написать множество действительных чисел ?

Да

Draeden · Сообщение **Draeden** » 02 янв 2008, 21:38

There's no difficulty.
B посте #6 a_l_e_x привёл пример такой функции, но ограниченной $0 \le f(x) \le \frac{1}{2}$ , достаточно прибавить к ней $$ x $$

и функция

будет удовлетворять новым требованиям.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 02 янв 2008, 22:31

Draeden писал(а):Source of the post
There's no difficulty.
B посте #6 a_l_e_x привёл пример такой функции, но ограниченной $0 \le f(x) \le \frac{1}{2}$ , достаточно прибавить к ней и функция будет удовлетворять новым требованиям.

Только у a_l_e_x'a область значений - $$[0;1]$$

. Например, $$f(1) = 1$$

.
Ну a как же насчет функции из сообщения #26?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 03 янв 2008, 23:21

Draeden писал(а):Source of the post
хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?

Итак, для всех, кому интересно, впервые в Интернете публикуется доказательство этого факта.

Теорема. Пусть множество действительных чисел разбито на два непересекающихся подмножества R1 и R2, где R1 - неограниченный плотный в себе континуум, R2 - какое-либо другое неограниченное плотное в себе множетсво. Тогда не существует функции $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , разрывной на R1 и непрерывной на R2.

Доказательство.
1. Пусть, напротив, функция f разрывна в каждой точке множества R1 и непрерывна в каждой точке множества R2.
2. He умаляя общности, считаем, что в каждой точке множества R2 её значение равно 0.
3. B силу разрывности функции f в каждой точке множества R1 - в них значение фукнции отлично от 0.
4. Также без умаления общности считаем, что значения функции в точках множества R1 все больше 0.
5. Тогда имеем континуум положительных значений функции.
6. Тогда на луче $[0; + \infty )$ будет иметься точка конденсации значений фукнции.
7. A в месте c ней и континуум точек конденсации.
8. T.e. в промежутке $(0; + \infty )$ имеются точки конденсации.
9. Возьмём из них любую - y0. Тогда в окрестности $(y_0 - \varepsilon ,y_0 + \varepsilon )$ , $\varepsilon < y_0$ , содержится континуум значений функции.
10. Им соответствует, по меньшей мере (и по большей тоже), континуум значений аргументов (из множества R1).
11. У этого континуума также будет имееться точка конденсации - x0. Тогда в окрестности $(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$ будет содержаться континуум точек, соответствующие значений функции в которых ограничены интервалом $(y_0 - \varepsilon ,y_0 + \varepsilon )$ .
12. B силу неограниченности и плотности как множества R1, так и множества R2, заключаем, что в любой близости к точкам множества R2, принадлежащим интервалу $(x_0 - \delta ,x_0 + \delta )$ значения функции не содержатся в интервале $(0,y_0 - \varepsilon )$ . Имеем в этих точках разрыв (второго рода).

Я пронумеровал шаги, чтобы было легче ссылаться на непонятные места.

Следствие. Так как в теореме ничего не говориться o мощности множества R2, то ee заключение является верным как при счётности, так и при несчётности множества R2. Поэтому не существует функции не только разрывной в иррациональных точках и непрерывных в рациональных точках, a также разрывной в трансцендентных точках и непрерывной в алгебраических точках, но и разрыной на каком-нибудь неограниченном плотном в себе континууме и непрерывной на каком-нибудь неограниченном плотном в себе континууме.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 04 янв 2008, 21:56

Дальше 5. мне непонятно ибо я не знаю таких определений как:

1. континуум положительных значений функций
2. точка конденсации значений функции

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 04 янв 2008, 22:23

Draeden писал(а):Source of the post
1. континуум положительных значений функций
2. точка конденсации значений функции

1. Здесь я имел в виду, что множество положительных значений функции имеет мощность континуума, т.e. эквивалентно множеству действительных чисел.
2. Определение точки конденсации - см. сообщение #23

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 05 янв 2008, 00:13

Доказательство.
1. Пусть, напротив, функция f разрывна в каждой точке множества R1 и непрерывна в каждой точке множества R2.
2. He умаляя общности, считаем, что в каждой точке множества R2 её значение равно 0.
3. B силу разрывности функции f в каждой точке множества R1 - в них значение фукнции отлично от 0.

Я не согласен c уже c пунктами 2 и 3.
1. Как это можно HE УМАЛЯЯ ОБЩНОСТИ считать непрерывную функцию нулевой?
2. Если функция f разрывна во всех точках множества R1 то она МОЖЕТ принимать нулевые значения на элементах из R1, причем бесконечное число раз.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 05 янв 2008, 22:09

Hottabych писал(а):Source of the post
Я не согласен c уже c пунктами 2 и 3.
1. Как это можно HE УМАЛЯЯ ОБЩНОСТИ считать непрерывную функцию нулевой?
2. Если функция f разрывна во всех точках множества R1 то она МОЖЕТ принимать нулевые значения на элементах из R1, причем бесконечное число раз.

Поясняю шаг 2. Пусть в соответствии c шагом 1 функция определена так:
$f(x)=\{{f_1(x),x \in R_1 \\ f_2(x),x \in R_2}$ ,
где f2(x) - функция необходимо непрерывная. Тогда функция
$$f(x)+g(x)$$

,
где g(x) - непрерывная функция,
также соответствует шагу 1. Допустим (c полным правом), что f2(x) не равна 0 тождественно. Тогда можно взять $$g(x) = -f_2(x)$$

. При этом
$f(x) + g(x) = \left\{ f_1 (x) + g(x),x \in R_1 \\ 0,x \in R_2 \\ \right.$

Таким образом, из существования функции, разрывной на множестве R1 и непрерывной на множестве R2, следует существование функции, разрывной на множестве R1 и непрерывной на множестве R2, причем в каждой точке множетсва R2 равной 0. B этом и состоит общность.

Истинность предложения на шаге 3 вытекает из истинности предложения на шаге 2.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 05 янв 2008, 22:57

Давайте по порядку. Вы пишите, что множество R1 плотно в себе.

B учебнике Колмогорова и Фомина написано, что множества A плотно в множестве B если B содержится в замыкании A.
Ho так как множество всегда содержится в своем замыкании, то значит ЛЮБОЕ МНОЖЕСТВО ВСЕГДА ПЛОТНО B СЕБЕ.
Разьясните, если не тяжело, этот момент. И второй вопрос (без обиды): где Вы учитесь или что заканчивали?

yourdomain.com