Предел в точке.

puh · Сообщение **puh** » 02 янв 2008, 18:58

Доброго времени суток, форумчане.
Ha досуге возник некий примерчик (предел).
Некоторое время уже было потрачено на осмысление оного, но к рациональному методу решения прийти так и не удалось.
Надеюсь на вашу подсказку и помощь.

Собственно, сам пример написать в вашей чудо-программе мне не удается, потому прошу меня простить и воспринять такую запись (прошу прощения еще раз):

Буду рада любой подсказке.
Благодарю.

Анджела

для начала умножь и числитель , и знаменатель на выражение , сопряженное выражению c корнем, далее c помощью тригонометрических формул использовать первый замечательный предел, у меня ответ один , деленное на четыре корень из двух.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 02 янв 2008, 20:01

решить можно очень просто: делаем замену

$$ t = x^2 + y^2 $$

и упрощаем:

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{1+\cos{t}}}{\tan^2{t}} \sim \frac{1-\cos{t}}{2 \sqrt{2} t^2} \sim \frac{\sin{t}}{4 \sqrt{2} t} \sim \frac{1}{4 \sqrt{2}}$

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 02 янв 2008, 22:10

Пределы при совместном стремлении нескольких переменных - это весьма интересная вещь! Чему, например, равен такой предел:
${\lim }\limits_ {x \to 0 \\ y \to 0} \frac{{xy}}{{x + y}}$ ?

POZITRON · Сообщение **POZITRON** » 04 янв 2008, 04:26

Извините если я скажу чушь, но мне кащется что здесь можно воспользоваться правилом Лопиталя так как здесь восникает неопределённость 0/0.

P/S Правда я видел пока только пределы c одной переменной

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 04 янв 2008, 05:24

Попробую сказать еще одну глупость
Если двойной предел сущесвует то он должен существовать по любому направлению стремления переменных к точке (0;0). Поскольку по направлению у=-х функция не определена ни в одной точке, то и предел по этому направлению не существует, следовательно и искомый двойной предел не существует. (плохо помню пределы функций многих переменных, так что сильно не пинайте)

Продолжая тему.
Найти предел
${\lim }\limits_ {x \to 0 \\ y \to 0} \frac{xy}{x^2+y^2}$

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 04 янв 2008, 11:34

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Если двойной предел сущесвует то он должен существовать по любому направлению стремления переменных к точке (0;0).

Хотелось бы уточнить, что по любому направлению из области определения функции. Мы же не берём предел функции $f(x)=\sqrt{x}$ в точке 0 слева! Также и в функции $f(x)=\frac{1}{x}$ находя предел в точке, например, 1, перебирая все возможные способы стремления к 1 (слева, справа и др.), мы не имеем права использовать те стремления, которые проходят через точку 0, так как она в ней неопределена. Наконец, находя предел функции $f(x)=x \sin{\frac{1}{\sin{\frac{1}{x}}}}$ в точке 0, мы должны среди всех способов стремления x к 0 перебрать лишь те, которые не включают точки, в которых функция f(x) неопределена, коих в окрестности 0 бесконечное множество! Ho, несмотря на то, что функция неопределена как в 0, так и в бесчисленном множестве точек в его окрестности, предел этой функции в 0 существует и равен 0.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 04 янв 2008, 12:18

Разберём предел $\lim \limits_{ x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{{xy}}{{x + y}}$ .
Интуитивно ясно, что этот предел равен 0, так как в числителе бесконечно малая более высокого порядка малости, чем в знаменателе A доказать это можно следующим образом.

${\lim }\limits_{ x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{{xy}}{{x + y}} = {\lim }\limits_{ x \to 0 \\ y \to 0 } \frac{1}{{\frac{x}{{xy}} + \frac{y}{{xy}}}} = {\lim }\limits_{ x \to 0 \\ y \to 0} \frac{1}{{\frac{1}{y} + \frac{1}{x}}}$
Выражения 1/x и 1/y представляют собой, очевидно, бесконечно большие величины. Сумма двух бесконечно больших величин - бесконечно большая величина. Тогда выражение под пределом - величина бесконечно малая. Её предел равен 0.

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Найти предел
${\lim }\limits_ {x \to 0 \\ y \to 0} \frac{xy}{x^2+y^2}$

A здесь нельзя сказать, что в числителе бесконечно малая более высокого порядка малости, чем в знаменателе...

venja · Сообщение **venja** » 04 янв 2008, 12:25

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Попробую сказать еще одну глупость
Если двойной предел сущесвует то он должен существовать по любому направлению стремления переменных к точке (0;0). Поскольку по направлению у=-х функция не определена ни в одной точке,

Очень даже определена.

Обычно в таких случаях переходят к полярной системе

$<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3Dr%5Ccos%28f%29%2C%20y%3Dr%5Csin%28f%29%24%24" alt="$$x=r\cos(f), y=r\sin(f)$$" title="$$x=r\cos(f), y=r\sin(f)$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$
Тогда стремление х и у к 0 можно заменить стремлением r к нулю. Если получившийся предел окажется не зависящим от f. то он и есть значение двойного предела. Если же окажется зависящим, то двойного предела не существует (так как предел окажется зависящим от ХАРАКТЕРА стремления х и у к 0.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 04 янв 2008, 14:32

vladb314 писал(а):Source of the post
Хотелось бы уточнить, что по любому направлению из области определения функции. Мы же не берём предел функции в точке 0 слева!

Уговорил

vladb314 писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Найти предел
${\lim }\limits_ {x \to 0 \\ y \to 0} \frac{xy}{x^2+y^2}$

A здесь нельзя сказать, что в числителе бесконечно малая более высокого порядка малости, чем в знаменателе...

Это да, только к решению это не приближает
И все таки, чему равен этот предел?

yourdomain.com