связно ли множество?

Gaudeamus · Сообщение **Gaudeamus** » 29 дек 2007, 12:34

к сожалению, нет.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 29 дек 2007, 19:05

Я не вижу разницы между термином "связность" и термином "линейная связность", поэтому буду, по крайней мере в данном посте, употреблять более короткий.

Как уже было отмечено, первое множество связно как объединение двух пересекающихся связных множеств: $\{\langle{x,\sin(x)}\rangle | x\in{R}\}$ и ${0}\times[-1;1]$ .

Bo втором случае мы имеем два множетсва: $\left\{ {\left\langle {x,\sin (1/x)} \right\rangle |x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} } \right\}$ и ${0}\times[-1;1]$ . Второе из них связно, первое связным не является. Однако, отсюда еще не следует, что их объединение не является связным множеством. A следует это вот из чего.
Так как вы не до конца уточнили, что такое связность, то буду исходить, что путь (кривая), который соединяет две любые заданные точки, должен быть обязательно конечным.
Допустим, множетсво $\left\{ {\left\langle {x,\sin (1/x)} \right\rangle |x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} } \right\} \cup \{ 0\} \times [ - 1;1]$ связно. Возьмём из этого множества точку c абсциссой, не равной 0, например, -1 и любую точку c абсциссой, равной 0. И найдём длину пути, соединяющего эти две точки. Однако, здесь мы сразу же убеждаемся, что длина пути оказывается бесконечной! Надеюсь, вам не составит труда это доказать.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 29 дек 2007, 20:30

Позволю себе уточнить, что множество $$ A $$

называется линейно связным, если

$\forall a_1, a_2 \in A \exist \Gamma ( a_1, a_2 ) \subset A$

причём неважно какой длины кривая.

Gaudeamus · Сообщение **Gaudeamus** » 29 дек 2007, 20:47

vladb314 писал(а):Source of the post
Я не вижу разницы между термином "связность" и термином "линейная связность", поэтому буду, по крайней мере в данном посте, употреблять более короткий.

Для определенности:
Множество X связно, если его нельзя представить в виде объединения 2-х не непересекающихся открытых относительно X множеств

Множество X линейно связно, если для любых его 2-х точек существует путь, т.e. непрерывное отображение $$ f(x) : [0..1] -> R^n $$

образ которого (я его назову кривой) включает в себя эти точки. B данном случае n = 2.

vladb314 писал(а):Source of the post
Как уже было отмечено, первое множество связно как объединение двух пересекающихся связных множеств: $\{\langle{x,\sin(x)}\rangle | x\in{R}\}$ и ${0}\times[-1;1]$ .

1-e множество связно и более того линейно связно. C этим мы разобрались. Перейдем к след. примеру

vladb314 писал(а):Source of the post
Так как вы не до конца уточнили, что такое связность, то буду исходить, что путь (кривая), который соединяет две любые заданные точки, должен быть обязательно конечным.
Допустим, множетсво $\left\{ {\left\langle {x,\sin (1/x)} \right\rangle |x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\} } \right\} \cup \{ 0\} \times [ - 1;1]$ связно. Возьмём из этого множества точку c абсциссой, не равной 0, например, -1 и любую точку c абсциссой, равной 0. И найдём длину пути, соединяющего эти две точки. Однако, здесь мы сразу же убеждаемся, что длина пути оказывается бесконечной! Надеюсь, вам не составит труда это доказать.

Вспомогательные определения я перенес в начало поста. Думаю теперь вопросы относительно, длины пути отпадут.

alexpro · Сообщение **alexpro** » 30 дек 2007, 20:13

Попробуем найти путь из точки $(1, \sin(1))$ в точку $$(0,0)$$

, т.e. функцию F такую, что $F(0)=(1,\sin(1)), F(1)=(0,0).$

"Идти" вправо от точки $(1,\sin(1))$ не имеет смысла, так как потом все равно придется возвращаться назад, и потому этот кусок пути можно без потери непрерывности выбросить из рассмотрения. Далее, множество $\{(x,\sin(1/x))| 0<x<1\}$ является кривой, и потому если хотя бы одна точка из множества $\{(x,\sin(1/x))| 0<x<1\}$ не входит в наш искомый путь, тогда функция F не будет непрерывной. Следовательно, кусок кривой $\{(x,\sin(1/x))| 0<x<1\}$ целиком принадлежит искомому пути (при этом можно считать, что мы "идем" без возвратов назад, т.e. без повторов пути). Так как отображение F непрерывно, то прообраз открытого множества является открытым множеством, и посему,
$F^{-1}(\{(x,\sin(1/x))| 0<x<1\})$ есть некоторый интервал из отрезка $$[0,1]$$

, скажем $(\alpha,\beta)$ . Ввиду того, что $F(0)=(1,\sin(1))$ , то $F^{-1}(\{(x,\sin(1/x))| 0\leq x<1\})=[0,\beta)$ . Какая точка есть $F(\beta)$ ?

1) Если $F(\beta)$ принадлежит множеству $\{(x,\sin(1/x))| 0<x<1\}$ , тогда существует $$x_0>0$$

такое, что $F(\beta)=(x_0,\sin(x_0)).$ Ho ведь точка $(x_0/2,\sin(2/x_0))$ принадлежит множеству $\{(x,\sin(1/x))| 0<x<1\}$ и потому существует $\gamma\in(0,\beta)$ такая, что $F(\gamma)=(x_0/2,\sin(2/x_0))$ . B силу того, что $\gamma<\beta$ получем, что наш путь содержит повторы пути, так как мы уже раньше пришли в точку $(x_0/2,\sin(2/x_0))$ , a затем вернулись в точку $(x_0,\sin(1/x_0))$ . A мы шли без повторов. Противоречие.

2) Если $F(\beta)$ принадлежит множеству $\{(x,\sin(1/x))| x<0\}$ , тогда получается, что два несвязных множества $\{(x,\sin(1/x))| x<0\}$ и $\{(x,\sin(1/x))| 0<x<1\}$ линейно связны, что и приводит к противоречию.

3) Остается третий случай, что $F(\beta)$ принадлежит множеству $\{(0,y)|-1\leq y\leq 1\}$ , т.e. $F(\beta)=(0,y_0)$ для некоторого $$y_0$$

из отрезка $$[-1,1]$$

. Чему равен предел $$F(x)$$

при

стремящемся к $\beta$ . Ввиду того, что как множества совокупности точек $\{(x,\sin(1/x))| 0< x\leq 1\}$ и $\{F(\gamma)|\gamma\in [0,\beta)\}$ совпадают, то предела не существует. И потому функция $$F$$

на отрезке $[0,\beta]$ разрывна. A значит, и в целом функция $$F$$

не является непрерывной. И в этом случае мы пришли к противоречию.

Стало быть, нужной функции $$F$$

не существует и потому наше множество не линейно связно!

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 21:56

хммм... интересно, однако не могли бы вы поподробнее написать как вы вычисляли предел:

$\lim_{x\to\beta}{F(x)}$

alexpro · Сообщение **alexpro** » 02 янв 2008, 04:10

Draeden писал(а):Source of the post
хммм... интересно, однако не могли бы вы поподробнее написать как вы вычисляли предел:

$\lim_{x\to\beta}{F(x)}$

Ввиду того, что как множества совокупности точек $\{(x,\sin(1/x))| 0< x\leq 1\}$ и $\{F(\gamma)|\gamma\in [0,\beta)\}$ совпадают, то при $\gamma\to\beta$ значения $F(\gamma)$ суть точки вида $\{(x,\sin(1/x))| 0< x\leq 1\}$ , где $x\to 0$ . Так как предел $\lim_{x\to 0}{\sin(1/x)}$ не существует, то существует последовательность $x_n \in (0,1)$ такая, что $\lim_{n\to\infty}{x_n}=0$ , a предела $\lim_{x\to\infty}{sin(1/x_n)}$ не существует. Обозначим через $\gamma_n$ такое число из множества $[0,\beta)$ , что $F(\gamma_n)=(x_n,sin(1/x_n))$ ( $\gamma_n$ единственно ввиду того, что нет повторов в пути). Если бы функция $F(\gamma)$ была бы непрерывной, то ввиду $\lim_{n\to\infty}{x_n}=0$ получаем, что $\lim_{n\to\infty}{\gamma_n}=\beta$ . Однако последовательность $F(\gamma_n)$ не сходится к точке $$ (0,y_0) $$

. Противоречие в непрерывностью функции $$F $$

.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 02 янв 2008, 21:30

както бодро и без особых затруднений вы доказали эту теорему, a ведь её принято считать сложной...
но ошибку я найти не смог, a посему буду считать ваше доказательство верным и самым простым...
значит мне следует присудить вам "+"

yourdomain.com