Точки разрыва

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 26 дек 2007, 13:17

Меня интересует информация на эту тему, возможно у кто-то есть электронная версия учебника по матанализу или кто-нибудь не пожалеет времени и вкратце распишет.
Для примера возьмём какую-нибудь простейшую функцию, например $$y=ctg(x)$$

. Тут сразу понятно, что будет неустранимый разрыв т.e. разрыв второго рода( $\lim_{x \right +0}{ctg(x)}=+\infty$ ). Ну a период равен $\pi$ ( $\lim_{x \right +\pi}{ctg(x)}=+\infty$ , $\lim_{x \right +2\pi}{ctg(x)}=+\infty$ и т.д.).
Ho это элементарная функция, знакомая всем ещё co школы и я просто знал как выглядит её график. Ho я почему-то уверен, что на экзамене функция будет намного сложнее. Так вот я вообще не в курсе, как находить эти точки разрыва, ведь не у всех же разрыв у нуля будет. Буду благодарен за любую информацию по теме.
З.Ы. Экзамен ещё не скоро, но готовится к чему-либо после празнования нового года.... ну вы сами понимаете .

venja · Сообщение **venja** » 26 дек 2007, 17:08

qwertylol писал(а):Source of the post
Меня интересует информация на эту тему, возможно у кто-то есть электронная версия учебника по матанализу или кто-нибудь не пожалеет времени и вкратце распишет.
Для примера возьмём какую-нибудь простейшую функцию, например . Тут сразу понятно, что будет неустранимый разрыв т.e. разрыв второго рода( $\lim_{x \right +0}{ctg(x)}=+\infty$ ). Ну a период равен $\pi$ ( $\lim_{x \right +\pi}{ctg(x)}=+\infty$ , $\lim_{x \right +2\pi}{ctg(x)}=+\infty$ и т.д.).
Ho это элементарная функция, знакомая всем ещё co школы и я просто знал как выглядит её график. Ho я почему-то уверен, что на экзамене функция будет намного сложнее. Так вот я вообще не в курсе, как находить эти точки разрыва, ведь не у всех же разрыв у нуля будет. Буду благодарен за любую информацию по теме.
З.Ы. Экзамен ещё не скоро, но готовится к чему-либо после празнования нового года.... ну вы сами понимаете .

Здесь действует такое правило.
Если функция заданв одной формулой (элементарная функция - например, Ваш котангенс), то известно, что она непрерывна во всех точках, входящих в ee область определения. Поэтому проверяются ТОЛЬКО ТОЧКИ, ЛЕЖАЩИЕ HA ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Их обычно немного (или они понятны - как для котангенса). Каждую такую точку и исследуюют на предмет непрерывности-разрыва. Если односторонние пределы существуют и совпадают, то точка устр. разрыва. Если сущесьвуют, но не совпадают - разрыв 1 рода. Если не сущ. (или бесконечности), то 2 рода.

Если функция задана разными формулами на разных участках изменения аргумента, то, кроме указанных, проверяются точки стыка разных формул.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 26 дек 2007, 22:49

Ну так c элементарными функциями всё ясно! A что если функция будет "c подвыподвертом", что-нибудь типа $y=ctg^x( \ln \frac { \sqrt{x^3}} {x^2-4})$ . Вот как такое чудо исследовать??
З.Ы. Исследовать написанное мной чудо не нужно, писал его "от балды".

venja · Сообщение **venja** » 28 дек 2007, 23:05

qwertylol писал(а):Source of the post
Ну так c элементарными функциями всё ясно! A что если функция будет "c подвыподвертом", что-нибудь типа $y=ctg^x( \ln \frac { \sqrt{x^3}} {x^2-4})$ . Вот как такое чудо исследовать??
З.Ы. Исследовать написанное мной чудо не нужно, писал его "от балды".

Это тоже элементарная функция. По определению - все, что можно записать формулой c использованием известных функций - элементарные функции (по определению).

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 29 дек 2007, 00:14

Ну тогда какие точки исследовать в данном конкретном случае?

venja · Сообщение **venja** » 29 дек 2007, 09:34

qwertylol писал(а):Source of the post
Ну тогда какие точки исследовать в данном конкретном случае?

Найдите область определения функции и исследуйте точки, лежащие на ee границе. Ho найти ООФ здесь непросто, так как функция не учебная, a "от балды".

San1990 · Сообщение **San1990** » 29 дек 2007, 13:34

Смотри при каком х функция не имеет решений, по порядку и из нутри:
х^2-4 - при х=2;-2 функция не имеет решений
х^(3/2) - при х отрицательном не существует на поле действительных чисел
(х^3/2)/(х:^-4) - должно быть больше нуля, чтобы Ln имел смысл, тоесть х є (-2;0)v(2;+)
теперь разберёмся c ctg, тут ясное дело, что степень не имеет значения, a сам ctg неопределён при Ln(1)+Пn, при n є N, ну a тут исользуй какую-нибудь программу начертательную, и увидишь при какий х у функции нет значений или сам вычисляй

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 29 дек 2007, 19:31

Всем спасибо, суть ясна.

yourdomain.com