Предел...

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 24 дек 2007, 21:39

Вот такой вот заподлянский предел:
$\lim_{x\right 0}{\frac {3 \tan{2x}+2 \tan^3x}{e^x-1+x^2}}$
Пытался раскрыть неопределённость, разложив тангенс двойного угла(тангенс обозначен как tan, a не как tg):
$\lim_{x\right 0}{\frac {3 \tan{2x}+2 \tan^3x}{e^x-1+x^2}}=\begin{bmatrix} \frac 0 0 \end{bmatrix}=\lim_{x\right 0}{\frac {3 \frac{2 \tan x}{1-\tan^2x}+2 \tan^3x}{e^x-1+x^2}}=\lim_{x\right 0}{\frac {6 \tan^2x+2 \tan^3x-2 \tan^5x}{e^x-1+x^2}}=\begin{bmatrix} \frac 0 0 \end{bmatrix}$
Как видите толку не много Пробывал дальше тангенсы как синус/косинус раскладывать, приводить всё это хозяйство к общему знаменателю и преобразовывать тамашнюю ахинею по основному триганометрическому тождеству, но всё равно получалась неопределённость 0/0. Подскажите люди добрые, как этот предел посчитать?

Анджела

Надо воспользоваться эквивалентостями

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 24 дек 2007, 22:05

Воспользуйтесь тем, что при $x \to 0$

$e^x-1 \sim x$
$tg(x)\sim x$

Анджела

При икс , стремящемся к нулю , получим в числителе 3*2x+2*икс в кубе, a в знаменателе икс плюс икс в квадрате , после сокращения на икс ответ 6

Natrix · Сообщение **Natrix** » 24 дек 2007, 22:20

qwertylol писал(а):Source of the post
Вот такой вот заподлянский предел:
$\lim_{x\right 0}{\frac {3 \tan{2x}+2 \tan^3x}{e^x-1+x^2}}$
Пытался раскрыть неопределённость, разложив тангенс двойного угла(тангенс обозначен как tan, a не как tg):
$\lim_{x\right 0}{\frac {3 \tan{2x}+2 \tan^3x}{e^x-1+x^2}}=\begin{bmatrix} \frac 0 0 \end{bmatrix}=\lim_{x\right 0}{\frac {3 \frac{2 \tan x}{1-\tan^2x}+2 \tan^3x}{e^x-1+x^2}}=\lim_{x\right 0}{\frac {6 \tan^2x+2 \tan^3x-2 \tan^5x}{e^x-1+x^2}}=\begin{bmatrix} \frac 0 0 \end{bmatrix}$
Как видите толку не много Пробывал дальше тангенсы как синус/косинус раскладывать, приводить всё это хозяйство к общему знаменателю и преобразовывать тамашнюю ахинею по основному триганометрическому тождеству, но всё равно получалась неопределённость 0/0. Подскажите люди добрые, как этот предел посчитать?

$\lim_{x\right 0}{\frac {3 \tan{2x}+2 \tan^3x}{e^x-1+x^2}}\\\lim_{x\right 0}{\frac{3\tan{2x}}{e^x-1+x^2}+\lim_{x\right 0}\frac{2\tan^3{x}}{e^x-1+x^2}}=\\=\lim_{x\right 0}\frac{\frac{3tan2x}{2x}}{(\frac{e^x-1}{2x}+\frac{x}{2})}+\lim_{x\right 0}\frac{2\left(\frac{\tan x}{x}\right)^3}{(\frac{e^x-1}{x^3}+\frac{1}{x^2})}=\\={\frac{3}{(\frac12+0)}}+\lim_{x\right 0}{\frac{2x^2}{\frac{e^x-1}{x}+1}}=6+0=6$

Остается доказать, что
$\lim_{x\right 0}{\frac{e^x-1}{x}}=1\\e^x-1=t\\(x\right 0)\Rightarrow (t\right 0)\\x=\ln(1+t)\\\lim_{t\right 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=\ln(\lim_{t\right 0}{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}})=\ln e=1$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 25 дек 2007, 13:43

Мдя, примерчик-то элементарный оказался. Туплю однако :blink: , недодумался на x сократить , вообщем ппц.
Всем огромное спасибо, a в особенности Natrix'у за потраченное на меня время(не так-то быстро это в Latex'e расписать) и Анджеле за самое рациональное решение.

yourdomain.com

Предел...

Предел...

Предел...

Предел...

Предел...

Предел...

Предел...

Кто сейчас на форуме