предел. помогите избавиться от неопределенности

qntonkaz · Сообщение **qntonkaz** » 16 дек 2007, 14:57

доброго времени суток. помогите пожалуйста избавиться от неопределенности!

предел на картинке(9Кб)

зы: по условию нельзя пользоваться правилом Лопиталя.

заранее спасибо.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 17 дек 2007, 06:11

Разложив синус в Ряд тейлора получаем что
$\sin $ \frac {x-1} {x^2}$ \sim \frac {1} {x}$

Natrix · Сообщение **Natrix** » 17 дек 2007, 10:25

qntonkaz писал(а):Source of the post
доброго времени суток. помогите пожалуйста избавиться от неопределенности!

предел на картинке(9Кб)

зы: по условию нельзя пользоваться правилом Лопиталя.

заранее спасибо.

$\lim_{x\right \infty}{x^2\sin{\frac{x-1}{x^2}}}=\\=\lim_{x\right \infty}{x^2\sin{(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})}}=\\=\lim_{x\right \infty}{x^2(\sin{\frac{1}{x}}\cos\frac{1}{x^2}-\sin{\frac{1}{x^2}}\cos\frac{1}{x})}=\\=\lim_{x\right \infty}{x\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}-\lim_{x\right \infty}{\frac{\sin\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}}=\infty-0=\infty$

qntonkaz · Сообщение **qntonkaz** » 17 дек 2007, 12:20

объясните пожалста, как мы получаем $\lim_{x\right \infty}{\frac{\sin\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}}=0$ ? при этом, как я понимаю $\lim_{x\right \infty}{\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}=1$
это ведь не первый замечательный предел!? ведь при нем x должен стремиться к 0.

a про ряд Тейлора нам видимо не рассказывали!(
хотя я понимаю что так получится, намного легче!

Natrix · Сообщение **Natrix** » 17 дек 2007, 18:26

qntonkaz писал(а):Source of the post
объясните пожалста, как мы получаем $\lim_{x\right \infty}{\frac{\sin\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}}=0$ ? при этом, как я понимаю $\lim_{x\right \infty}{\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}=1$
это ведь не первый замечательный предел!? ведь при нем x должен стремиться к 0.

a про ряд Тейлора нам видимо не рассказывали!(
хотя я понимаю что так получится, намного легче!

Прошу прощения, конечно же 1!!!!!
ПЗП
$\lim_{x\right \0}{\frac{\sin x}{x}}$
B нашем случае
$\lim_{x\right \infty}{\frac{\sin {\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}}\\z=\frac{1}{x}\\x\right \infty\\z\right {0}\\\lim_{z\right {0}}{\frac{\sin z}{z}}=1$
Аналогично и для другого отношения.

qntonkaz · Сообщение **qntonkaz** » 17 дек 2007, 22:23

теперь мне конечно все понятно, спасибо вам большушее! я ваще вам аплодирую за такое решение!) не видел раньше такого хода.(

супер. мне понравилось!)

Mudr.KAA · Сообщение **Mudr.KAA** » 22 дек 2007, 00:16

Можете и мне помочь решить такой предел при x стремящемся к 0
lim(ln(e+x))^ctgx
A то c єтим c ума схожу при чем лопиталить нельзя

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 22 дек 2007, 00:37

$ln(e+x)=ln$e\(1+\frac{x}{e}$\)=1+ln$1+\frac{x}{e}$\sim 1+\frac{x}{e}$
$ctg(x)=\frac{1}{tg(x)}\sim \frac{1}{x}$
Следовательно
$ln(e+x)^{ctg(x)}\sim (1+\frac{x}{e})^{\frac{1}{x}}=(1+\frac{x}{e})^{\frac{e}{x}\frac{1}{e}}$
Дальше решение должно быть ясно

Mudr.KAA · Сообщение **Mudr.KAA** » 22 дек 2007, 00:46

Спасибо Большое

A такое кто сможет?
При x-1
lim((x^2-x+1)^(1/2)-1)/tgPIx

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 22 дек 2007, 01:25

yourdomain.com