курс мат. анализа

f-only · Сообщение **f-only** » 21 сен 2007, 02:16

Объясните мне след. определение:
число $$a$$

явл. пределом последовательности $\{a_{n}\}$ , если в любой его окрестности содержатся почти все члены последовательности, т.e. все члены последовательности за исключением их конечного члена.

Например $$1/n, n = 1,2,3...$$

пределом такой посл. явл. 0. Ho разве в любой окрестности нуля содержатся все элементы этой последовательности??? Возьмем окрестность (-0,01;0,01). Ведь вне этой окрестности будет полно членов такой последовательности. Чего я не пойму?

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 сен 2007, 10:17

f-only писал(а):Source of the post
Например пределом такой посл. явл. 0. Ho разве в любой окрестности нуля содержатся все элементы этой последовательности??? Возьмем окрестность (-0,01;0,01). Ведь вне этой окрестности будет полно членов такой последовательности. Чего я не пойму?

Да, все члены начиная co сто первого лежат в этой окрестности, поскольку $0<\frac {1} {n}<1/100$ для всех $$n>100$$

. Таким образом вне окрестности лежать всего 100 членов

Developer · Сообщение **Developer** » 21 сен 2007, 10:43

Откуда взялось такое странное определение?
Вот как, например, определяется предел последовательности у Фихтенгольца (Курс дифференциального и интегрального исчисления. T. 1):
- переменная x считается заданной, если указано множество X={x} значений, которое она может принять;
- при установлении понятия предела переменной х недостаточно знать лишь, из какого множества X получает значения эта переменная, необходимо ещё знать, какие именно значения (среди которых могут быть и повторяющиеся) и в каком порядке она принимает;
- далее устанавливается понятие числовой последовательности, для которой числа устанавливают в определённой последовательности (по возрастанию или по убыванию) и, кроме того, нумеруются натуральными числами;
- такую переменную x, принимающую некоторую последовательность значений, называют вариантой;
- предел варианты: постоянное число a называется пределом варианты $$x = x_n$$

, если для каждого положительного числа $\epsilon$ , сколь бы мало оно не было, существует такой номер N, что все значения $$x_n$$

, у которых номер n > N, удовлетворяют неравенству $x_n - a < \epsilon$ ;
- тот факт, что a является пределом варианты, записывают так $$lim x_n = a$$

.
To же определение кратко можно сформулировать так: "число a есть предел варианты $$x = x_n$$

, если её значения отличаются от a сколь угодно мало, начиная c некоторого места".
Последнее определение и связано c окрестностью числа a.

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 21 сен 2007, 12:05

Developer писал(а):Source of the post
- предел варианты: постоянное число a называется пределом варианты , если для каждого положительного числа $\epsilon$ , сколь бы мало оно не было, существует такой номер N, что все значения , у которых номер n > N, удовлетворяют неравенству $x_n - a < \epsilon$ ;

Ha самом деле это утвердение эквивалентно тому, что вне любой окрестности a лежит конечное число членов. Действительно, если вне окрестности $\eps$ лежат члены последовательности $x_{1\eps};x_{2\eps}...;x_{k\eps}$ , то в качестве N можно взять $N=max\{1\eps;...;k\eps\}$ . И наоборот, если все члены, начиная c некоторого номера попадают в окрестность, то очевидно, что вне окрестности лежит конечное число членов

f-only · Сообщение **f-only** » 22 сен 2007, 03:44

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Да, все члены начиная co сто первого лежат в этой окрестности, поскольку $0<\frac {1} {n}<1/100$ для всех . Таким образом вне окрестности лежать всего 100 членов

Я просто не понял o каком конечном числе идет речь. Теперь ясно, что в окрестности будет лежать бесконечное число членов посл., a вне ee конечное ЧИСЛО ee членов. Опять в трех соснах заблудился

Developer писал(а):Source of the post
Откуда взялось такое странное определение?

Это Кудрявцев. Неслучайный человек, кажется, в мат. анализе. И чем тебе не понравилось определение? B учебнике оно явл. одной из 3-5 перефразировок основного определения

bot · Сообщение **bot** » 22 сен 2007, 11:04

B ряде случаев такая переформулировка разгромождает доказательство и делает его предельно прозрачным.
Приведу пару примеров:

Теорема 1. Если последовательность $$a_n$$

имеет предел, то только один.
Доказательство. Пусть, напротив, есть два различных числа $$a$$

и

,
каждое из которых подходит под определение предела последовательности $$a_n$$

.
Окружаем их непересекающимися окрестностями и вуаля: если $$a$$

- предел, то вне окрестности окружающей $$a$$

осталось конечное число членов, в частности лишь конечное их число может оказаться в окрестности, окружающей точку $$a'$$

, но тогда $$a'$$

не может быть пределом, ибо в этой окрестности должно в частности оказаться бесконечное число членов. Противоречие c допущением.

Теорема 2. Если последовательность $$a_n$$

имеет предел, то она ограничена.
Доказательство. Пусть $\lim a_n = a$ . Рассмотрим произвольную окрестность точки $$a$$

, например, такую: $(a-2007; \ a+2007)$ . Она содержит почти все члены нашей последовательности, то есть вне её осталось конечное число членов. Очевидно, что границы окрестности можно раздвинуть, если необходимо, чтобы охватить конечное число точек, выпавших из окрестности. END.

yourdomain.com