Задачи по матану

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 21 июн 2007, 01:43

Пусть $S_n(p)=\sum_{k=1}^{n}k^p\, , \ p \in N.$
Доказать, что
$\sum_{p=1}^{m}C_{m+1}^pS_n(p)=(n+1)^{m+1}-(n+1).$

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 21 июн 2007, 07:41

[url=http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=2072&st=0]http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=2072&st=0[/url]
Задача 10

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 21 июн 2007, 15:11

Спасибо

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 12 июл 2007, 20:33

Что-то не получается доказать, что
$\lim _{n \to \infty}$\sqrt[n]{n!}$=\infty$

Как начать подскажите пожалуйста (для начала; может дальше сам смогу...)

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 12 июл 2007, 21:01

Krrechet писал(а):Source of the post
Что-то не получается доказать, что
$\lim _{n \to \infty}$\sqrt[n]{n!}$=\infty$

Как начать подскажите пожалуйста (для начала; может дальше сам смогу...)

Для начала нужно доказать, что для любого $$ a > 0 $$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{a^n} = \infty$ .

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 13 июл 2007, 13:53

AV_77 писал(а):Source of the post
Krrechet писал(а):Source of the post
Что-то не получается доказать, что
$\lim _{n \to \infty}$\sqrt[n]{n!}$=\infty$

Как начать подскажите пожалуйста (для начала; может дальше сам смогу...)

Для начала нужно доказать, что для любого
$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{a^n} = \infty$ .

K сожалению, тоже не получается...
Посмотрите, что я пробовал - может что-то не так делал? (опыта просто не хватает...)
$\lim_{x \to \infty}{n! \over a^n}=\infty$
Если $$a>0$$

, то $a=1+\alpha , \, \alpha >0$
1-й способ) $a^n=(1+\alpha)^n>n\alpha$ (в силу нер-ва Бернулли)
Тогда
${a^n \over n!}>{n\alpha \over n!}\\ {n! \over a^n}<{(n-1)!\over \alpha}$
Остается найти последовательность $$M_n$$

, такую что $M_n<{n! \over a^n}$ и $\lim_{n \to \infty}M_n=\infty$ - но вот не получается....
2-й способ) $a^n=(1+\alpha)^n>C_n^2\alpha^2={n!\alpha ^2 \over 2(n-2)!}$
Откуда ${n! \over a^n}<{2(n-2)! \over \alpha ^2}$
И та же самая проблема, что и в первом способе.
3-й спосособ) Может легче будет сначала доказать, что $\lim_{x \to \infty}{a^n \over n!}=0 \, \Rightarrow \lim_{x \to \infty}{n! \over a^n}=\infty$ .
Или так нельзя?

bot · Сообщение **bot** » 14 июл 2007, 11:40

Krrechet писал(а):Source of the post
Что-то не получается доказать, что
$\lim _{n \to \infty}$\sqrt[n]{n!}$=\infty$

Как начать подскажите пожалуйста (для начала; может дальше сам смогу...)

Запишите

так:

$n!=1\cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1)\cdot n$

и вот так:

$n!=n\cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1$

A теперь перемножьте. Какое неравенство напрашивается?

To есть этот предел $\lim _{n \to \infty}\frac {a^n}{n!}=0$ задействовать не обязательно. Однако, если уж речь o нём зашла, то это тоже просто (случай отрицательного a, очевидно сводящийся к положительному, пропускаю):

1) Можно тупо заменить все множители в факториале, начиная c $$k = [a]$$

, на k и искать по заданному $\varepsilon$ требуемое по определению предела $$n_0$$

2) Использовать теорему o пределе монотонной ограниченной последовательности. При этом монотонность достаточно иметь, начиная c некоторого номера.
Положим $x_n=\frac{a^n}{n!}$ . Тогда

$x_{n+1}=x_n \cdot \frac{a}{n+1}$ .

Отсюда при $$n>a$$

последовательность $$x_n$$

убывает. Так как она ещё и ограничена снизу нулём, то она имеет предел, обозначим его x. Тот же предел будет иметь и последовательность $x_{n+1}$ . Теперь нет никаких препятствий к переходу к пределу в последнем равенстве:

$x=\lim x_{n+1} = \lim x_n \cdot \lim \frac{a}{n+1}= x \cdot 0 = 0$ .

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 19 июл 2007, 18:18

bot писал(а):Source of the post
Запишите так:
$n!=1\cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1)\cdot n$
и вот так:
$n!=n\cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1$
A теперь перемножьте. Какое неравенство напрашивается?

Что-то я, к сожалению, ни до чего не догадался...
Как доказать, что $\lim _{n \to \infty}\frac {a^n}{n!}=0$ я понял (спасибо), a вот как задействовать...

Появилось еще несколько вопросов, просьба помочь:
№1
Доказать ограниченость последовательности:
$x_n=\sum_{k=1}^{n}{1 \over n+k}$
Так как $x_n\,$ - возрастает и при $n=1 \;\; x_n=1/2 (\Rightarrow x_n\ge 1/2) \; ,$ то последовательность ограничена снизу.
Чтобы доказать, что последовательность ограничена, нужно доказать, что она ограничена как снизу, так и сверху; снизу - доказал, a дальше не получается
№2
Доказать, что $\lim_{n \to \infty}{n \over \sqrt{n^2+n}}=1$
У меня два способа (один под вопросом):
$x_n={n \over \sqrt{n^2+n}}={1 \over \sqrt{1+1/n}}$
1) $|x_n-1|=|{n \over \sqrt{n^2+n}}-1|=1-{n \over \sqrt{n^2+n}}\. ,$ (так как $n<\sqrt{n^2+n} \. \Rightarrow {n \over \sqrt{n^2+n}}<1$ )
$|x_n-1|<\varepsilon , \; \; \varepsilon <1 \, \,$ (ясно, что еси мы докажем это $\forall \varepsilon <1$ , то это будет выполнятся и $\forall \varepsilon >0$ )
$1-\varepsilon < {n \over \sqrt{n^2+n}}\\(n^2+n)(1-\varepsilon)^2<n^2\\(n+1)(1-\varepsilon)^2<n\\(1-\varepsilon)^2<(1-(1-\varepsilon)^2)n\\n>{(1-\varepsilon)^2 \over (1-(1-\varepsilon)^2)}={(1-\varepsilon)^2 \over \varepsilon (2-\varepsilon)}$
Возьмем $N_{\varepsilon}=\[{(1-\varepsilon)^2 \over \varepsilon (2-\varepsilon)}\]+1$
Получим: $\{\forall \varepsilon >0 \forall n>N_{\varepsilon} \rightarrow |x_n-1|<\varepsilon\} \Leftrightarrow \{\lim_{n \to \infty}{x_n}=1\}$
2) $y_n=\sqrt{1+1/n} \; \; \lim_{n \to \infty}{y_n}=1$
Так как $x_n={1 \over y_n}, \;$ то $\lim_{n \to \infty}{x_n}=1$

Проверте, пожалуйста.
И можно ли доказать так, как я написал во втором способе ?

Всем заранее спасибо.

alexpro · Сообщение **alexpro** » 19 июл 2007, 19:13

Krrechet писал(а):Source of the post
№1
Доказать ограниченость последовательности:
$x_n=\sum_{k=1}^{n}{1 \over n+k}$
Так как $x_n\,$ - возрастает и при $n=1 \;\; x_n=1/2 (\Rightarrow x_n\ge 1/2) \; ,$ то последовательность ограничена снизу.
Чтобы доказать, что последовательность ограничена, нужно доказать, что она ограничена как снизу, так и сверху; снизу - доказал, a дальше не получается

Так ведь сверху её проще-простого оценить:

$x_n=\sum_{k=1}^{n}{1 \over n+k}< \sum_{k=1}^{n}{1 \over n}=n\cdot 1/n=1$

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 19 июл 2007, 21:00

alexpro писал(а):Source of the post
Так ведь сверху её проще-простого оценить:
$x_n=\sum_{k=1}^{n}{1 \over n+k}< \sum_{k=1}^{n}{1 \over n}=n\cdot 1/n=1$

Точно, ты прав! Спасибо! Я что-то сам не дошел до этой простой истины...
Ну a c остальными вопросами что?

yourdomain.com