Бесконечно большая величина

Scetalec · Сообщение **Scetalec** » 18 июл 2007, 02:12

C помощью определения бесконечно большой величины необходимо доказать что $$x_n$$

- бесконечно большая величина.
$x_n = \frac {n^2+9} {n}$
Определение бесконечно большой величины - $$x_n$$

явл. бесконечно большой величиной, если, как бы нибыло велико число $$M>0$$

найдется такое число $$N>0$$

, что для всех натуральных $$n>N$$

выполняется неравенство $$|x_n|>M$$

Док-во:

Пусть задано сколь угодно большое число $$M>0$$

такое, что:
$|\frac {n^2+9} {n}|>M$ из этого получаем $n>M-\frac {9} {n}$ следовательно для всех натуральных $$n$$

при $n>M-\frac {9} {n}=N$ справедливо равенство $|\frac {n^2+9} {n}|>M$ следовательно $$x_n$$

- бесконечно большая величина.
Проверьте, пожалуйста, правильность доказательства нет ли здесь каких нибудь логических ошибок.

alexpro · Сообщение **alexpro** » 18 июл 2007, 04:19

Scetalec писал(а):Source of the post
C помощью определения бесконечно большой величины необходимо доказать что - бесконечно большая величина.
$x_n = \frac {n^2+9} {n}$
Определение бесконечно большой величины - явл. бесконечно большой величиной, если, как бы нибыло велико число найдется такое число , что для всех натуральных выполняется неравенство

Док-во:

Пусть задано сколь угодно большое число такое, что:
$|\frac {n^2+9} {n}|>M$ из этого получаем $n>M-\frac {9} {n}$ следовательно для всех натуральных при $n>M-\frac {9} {n}=N$ справедливо равенство $|\frac {n^2+9} {n}|>M$ следовательно - бесконечно большая величина.
Проверьте, пожалуйста, правильность доказательства нет ли здесь каких нибудь логических ошибок.

Единственное, что я бы поправил, это то, что число $$N$$

надо взять следующим $N=[M-\frac {9} {n}]+1,$ , так как число $M-\frac {9} {n}$ не всегда целое.

P.S. [x] - целая часть числа x.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 18 июл 2007, 11:46

$N=M-\frac {9} {n}$ как то не гламурно. Непонятно, что за n фигурирует в правой части.

Проще и лучше: $$N=M$$

Доказательство, что $x_n = \frac {n^2+9} {n}$ бесконечно большая величина.
Возьмем сколь угодно большое M>0. Пусть N=M.
Тогда для n>N выполняется:
$\frac {n^2+9} {n}>\frac {n^2} {n}=n>N=M$

$\frac {n^2+9} {n}>M$

Scetalec · Сообщение **Scetalec** » 18 июл 2007, 23:11

Pavlovsky писал(а):Source of the post
$N=M-\frac {9} {n}$ как то не гламурно. Непонятно, что за n фигурирует в правой части.

Проще и лучше:

Доказательство, что $x_n = \frac {n^2+9} {n}$ бесконечно большая величина.
Возьмем сколь угодно большое M>0. Пусть N=M.
Тогда для n>N выполняется:
$\frac {n^2+9} {n}>\frac {n^2} {n}=n>N=M$

$\frac {n^2+9} {n}>M$

Меня тоже, смущает эта n в правой части но, мне кажется что $N \not = M$ по той причине что если $\frac {n^2+9} {n}>M$ то $N=M-\frac {9} {n}$

Dmitrij · Сообщение **Dmitrij** » 19 июл 2007, 01:28

Представленное доказательство, на мой взгляд, верно c учетом поправок, касающихся взятия целой части числа. Другой вариант доказательства следующий:

Величина называется бесконечно большой, если при стремлении n к бесконечности, предел этой величины равен бесконечности:

\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+9}{n} \right)= бесконечность

C уважением

Dmitrij

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 19 июл 2007, 08:27

Dmitrij писал(а):Source of the post
Представленное доказательство, на мой взгляд, верно c учетом поправок, касающихся взятия целой части числа. Другой вариант доказательства следующий:

Величина называется бесконечно большой, если при стремлении n к бесконечности, предел этой величины равен бесконечности:

\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+9}{n} \right)= бесконечность

C уважением

Dmitrij

Ребята когда что либо советуете, будьте очень осторожны!
"Доказательство" представленное Scetalec это даже не доказательство. Это попытка вычислить N. Которое нам необходимо при доказательстве, что $x_n = \frac {n^2+9} {n}$ является бесконечно большой.

A определение бесконечно большой через предел равный бесконечности - это вообще ни в какие ворота.

bot · Сообщение **bot** » 20 июл 2007, 14:21

Основная трудность для начинающих здесь заключается в том. что надо, как рак, пятиться назад, a не двигаться вперёд: не выводить следствия из требуемого окончательного неравенства, a искать из чего бы оно вытекло. После нахождения нужного номера $$ N $$

этот поиск скрывают и излагают доказательство прямым образом: возьмём $$N = ... $$

, тогда при $$ n > N $$

получаем ... - для многих это выглядит как фокус.
Для данного случая требуется по любому заданному M найти $$ N $$

, чтобы при $$ n > N $$

выполнялось неравенство $\frac{n^2+9}{n} > M$ . Это неравенство должно у нас появиться в конце, как следствие неравенства $$ n > N $$

при том

, которое мы сумеем найти. Перепишем конечное неравенство в эквивалентной форме $n + \frac{9}{n} > M$ . Поскольку второе слагаемое положительно, то неравенство вытечет из следующего из неравенства $$n > M $$

, которое как раз и имеет нужный нам вид.
Теперь разворачиваемся и говорим, пусть N=M, ... впрочем зачем повторяться? См. выше пост Павловского.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 июл 2007, 14:33

Dmitrij писал(а):Source of the post
Величина называется бесконечно большой, если при стремлении n к бесконечности, предел этой величины равен бесконечности:

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+9}{n} \right)= \infty$

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+9}{n} \right)= \infty$
Это формальная запись бесконечно большой величины. Dmitrij Вы даете определение "бесконечно большой" саму через себя.

Определение бесконечно большой величины - $$x_n$$

явл. бесконечно большой величиной, если, как бы нибыло велико число $$M>0$$

найдется такое число $$N>0$$

, что для всех натуральных $$n>N$$

выполняется неравенство $$|x_n|>M$$

Это определение надо дополнить фразой: Это свойство записывается в виде $\lim_{n \to \infty} \left(x_n \right)= \infty$

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 20 июл 2007, 14:54

Кстати N не обязательно выбирать минимально возможную, можно брать и c запасом.
Доказательство, что $x_n = \frac {n^2+9} {n}$ бесконечно большая величина.
Возьмем сколь угодно большое M>0. Пусть N=100M.
Тогда для n>N выполняется:
$\frac {n^2+9} {n}>\frac {n^2} {n}=n>N=100M>M$

$\frac {n^2+9} {n}>M$
Вывод: $\frac {n^2+9} {n}$ удовлетворяет определению бесконечно большой величины.

yourdomain.com